【輕鬆一刻泰勒公式居然能救命!!】
在俄國革命期間（1917年左右），諾貝爾物理獎(1958)獲得者伊戈爾·葉夫根耶維奇·塔姆外出找食物，在鄉間被保安人員逮捕。保安人員懷疑他是反烏克蘭的共產主義者，於是把他帶回總部。頭目問：你是做什麼的？塔姆：我是一位數學家。頭目心存懷疑，拿著槍，手指扣著扳機，對準他。手榴彈也在他的面前晃動。頭目說：好吧，那麼一個函數作泰勒展開到第 n 項之後，你就把誤差項算出來。如果你算對了，就放你一條生路，否則就立刻槍斃。於是塔姆手指發抖，戰戰兢兢地慢慢計算，當他完成時，頭目看過答案，揮手叫他趕快離開......
泰勒公式是很有用的，可以把一個函數化為冪函數的組合形式，降低了複雜度。可是憑什麼可以這樣啊，這式子也不是顯然成立的，這個式子是怎麼來的呢？不可能突然就這麼一下子就出來了吧？什麼？拉格朗日的推廣？呃,好吧，這可以算一階情形。可是二階，三階...又是怎麼回事呢？類推也不是這麼顯然吧，所以泰勒公式是怎麼來的，確實是一個需要解決的問題，不然那麼一大串憑空長生，還讓人記住，還一直要用，憑什麼啊？我不服！！！
【插值】
現實生活中，我們不可避免的需要根據已知數據，來推測未知數據。很常見的情況是已知一些數據點，來找出數據分布的函數解析式，這就是"插值"問題。
插值問題的幾個類型:
●如果知道的是一些離散的點+函數值，那麼用拉格朗日插值可以得出擬合的多項式；
一個例子:
從此再也不用擔心被小朋友的數字規律題難住了!
●如果知道的是某個點a，的f(a),f''(a),f''(a)....我也想知道這個函數到底是啥樣，怎麼辦？
不是涼拌!
這時候該用泰勒公式!
●如果知道很多點的函數值，還知道導數值，怎麼插？
同學抱歉,超綱了啊!
順手說一句-這叫"埃爾米特插值"，
有興趣的可以看看數值分析的教材,
在此就不進一步深入涉及了,
這裡得抓住核心---只討論泰勒!
【手把手開幹】
核心問題:
我們一步一步來:
弄好了a點的情況後,
我們開始先導數領域進軍,
先從一階導數下手:
然後順理成章進軍2階導數,
這裡是關鍵了,
理解了這裡就基本理解這個過程了:
更高階的就不一一往下闡述了,
原理都是類似的,
都是不斷迭代,
求k階導後,
前面的階數太低的直接被滅了,
後面階數太高的還剩下x-a因子自取滅亡,
不多不少恰好剩下k階導那項,
於是就能保證k階導也相等.
都是這個思路...
同理下去,
就可以得到n階時候的近似：
再簡單列一下n階那一項的歷次求導情況:
至於近似表達式最後還有一項n+1次方的,是因為h(x)只是根據有限數據的估計，不可能完全精確，所以顯然還要多一項,來確保不影響前n項的結果，為更精確的擴張留下空間，有了更多的新數據，就可以計算添加更高階的項。最後那一坨也就是所說的泰勒餘項，根據不同需求可寫為多種不同形式，有佩亞諾餘項，也有拉格朗日型餘項，還有積分型餘項...一般還是佩亞諾餘項比較簡單，直接一個小o的高階無窮小就表達出來了.
所以說白了:
泰勒公式就是在a點的函數值以及各階導數值都和原函數一樣的多項式罷了，一模一樣的複製了f在a的情況，
近似的再造了一個山寨版本的f(x)
【項目驗收--看看實際效果嘛】
來看看泰勒展開在逼近e^x時候的效果圖，挺生動形象的
（常數情形嘛，肯定是最弱的啦，用來墊底）
（1階情形，也就0附近一點點可以，外面就差的太大了）
（比1好點）
（3的情況，比2好很多了，有木有）
（4的情況，很好很好）
（5的情形，已經基本搞定了e^x了）
（6，基本上就是e^x的圖像了，泰勒公式真屌啊，居然這麼精確）
（7的情形，如果是6的時候還有點偏差，7的時候，在這幅圖的範圍內，已經沒有偏差了，二者融為一體，好和諧啊。。。）
當然因為只是在0附近展開的，所以在0附近的近似情況是最好的，隨著x越來越偏移0，近似效果也會越來越差。一般來說需要誰的附近的近似值，就應該在誰的位置插值，這樣效果才好。所以插值位置要對才行，才有效果
【往期精選】
●1+1/2+...+1/n ,可能是整數嗎?
●角平分線,比例關係
●年僅22歲的歐拉搞定了"n!"的插值
●此處不要再用洛必達了!!!
●如何證明e是無理數?
●平方倒數和——|x|的傅立葉展開
●已知3點坐標,如何快速求△面積?
●矩陣乘法，為啥定義得這麼複雜?
●柯西不等式,被徹底徵服!
●弧度制是必須的！
●考研數學驚現"黎曼引理",賺大了!
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