不少同學對冪級數和泰勒級數、泰勒公式，以及麥克勞林展開式之間的區別和聯繫不清楚，本文小編力圖說明它們之間的區別和聯繫。
1.泰勒中值定理和泰勒公式
對於複雜函數，往往不容易研究其性質。但如何能用一個近似的多項式函數來表示複雜函數，那就容易多了，泰勒中值定理就此應運而生。
泰勒中值定理的具體內容：
泰勒中值定理中的f(x)的多項式被稱為泰勒公式。
事實上，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣。
2.皮亞諾和拉格朗日餘項
把泰勒中值定理中的多項式再次放到下方，以便於說明：
第一個要明確的概念是泰勒多項式，如上方綠色部分即為函數f(x)在(x-x0)的冪展開的n次泰勒多項式，通常用如下式子表示：
第二個概念就是拉格朗日餘項。考慮上方標橙的部分，在泰勒中值定理中的餘項就是拉格朗日餘項，如下所示：
第三個概念是皮亞諾餘項或稱佩亞諾餘項。當n趨於無窮大時，若下列關係式成立：
則拉格朗日餘項可以簡記為：
此時稱上述餘項表達式為皮亞諾餘項。
3.麥克勞林公式
在泰勒公式中，若x0=0，此時的多項式則稱為麥克勞林公式，根據餘項是拉格朗日餘項還是皮亞諾餘項，對應的多項式則稱為帶拉格朗日餘項的麥克勞林公式，帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式。
帶拉格朗日餘項的麥克勞林公式：
帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式：
4.麥克勞林級數
小編在前文已經講述了什麼是泰勒公式，那泰勒級數又是什麼鬼？
為方便比較，小編再把泰勒公式放在下方：
從形式上來說，泰勒公式是一個有限項，即在點(x-x0)展開的多項式的冪是有限的。
而泰勒級數則是把餘項給捨棄掉，在點(x-x0)展開的多項式的冪則是無限的。泰勒級數如下所示：
同樣，在泰勒級數中，如果x0=0，那麼此時的級數則被稱為麥克勞林級數。麥克勞林級數的形式如下所示：
5.什麼函數能展開？
那麼什麼函數能展開成泰勒級數呢？
小編在第4節時說過，泰勒級數可以簡單視為丟棄掉泰勒公式中的餘項，同時在點(x-x0)展開的多項式的冪趨向無窮大。那麼函數能否展開成泰勒級數，自然就與泰勒公式中的餘項息息相關了。
很多同學容易忽視上述定理，因為考的少。而有的同學卻記了一半，什麼意思呢？就是定理中要求的是在鄰域內，而大家常常記成在某一點具有任意階導數。這是一定要注意的一點哦！
6.麥克勞林展開式
前文已經區分了泰勒級數和麥克勞林級數，那麼什麼是泰勒展開式和麥克勞林展開式呢？
很簡單，就是在相應的級數後面，標註收斂域即可，舉個例子：
最後，小編繪製了下方圖，準確、形象地描述了各個關鍵概念之間的關係，大家可以仔細看看，作為參考。