泰勒級數中的「逆級數問題」

2021-01-09 電子通信和數學

前面我們已經學習了泰勒級數的性質和逼近原函數時要滿足的條件，如下函數的展開式是

那你是否想過通過sinx項，或1/1-x 項把X表示成級數的形式，用現代術語就是尋找X逆級數。

這種方法在現代教科書中並未提及到，但偉大的牛頓首次在他的《分析學》一書中對這種方法進行了系統的研究和函數。

我們先來看一個簡單的級數，如何用Z項來表示X的級數

簡單的變形得到

因為是用Z項表示X的級數，設X=Z+P，且P是有待確定的級數，帶入上式得

上式展開整理得到

捨棄了2次項，3次項和更高次項，再求解得到

再次假設P=Z^2+q，且q是級數並帶入上式含有p的多項式中

對其展開合併同類項得到

同理捨棄2次項，3次項和更高次項得到

所以經過上面的兩次變換就得到X前三項的式子

同理我們繼續假設q等於

且r是級數，繼續推到這一過程，對於代數的單調乏味有著非凡忍耐力的牛頓就是這樣無限延伸的計算下去，最後就得到用Z項來表示的X的級數形式

所以X和Z互為逆級數形式

進步檢驗是否正確,如圖

所以這一切的推導是正確的。

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