泰勒級數為什麼不可以展開?

       

之前寫了兩篇關於複數的文章了：

複數，通往真理的最短路徑[1]

歐拉公式，複數域的成人禮[2]

其中提到複數的發現是源於解一元三次方程：

其實在我們學習路徑上，一般也不會碰到解一元三次方程的問題，真正引起我對複數思考的是：

泰勒級數展開的問題（關於這個問題，之前寫過「使用泰勒公式進行估算時，在不同點有啥區別？[3]」，更初級、更詳細一些，感興趣可以看下）。

1.1   

我們知道  的麥克勞林級數（即  點的泰勒級數）為：

取前面三項（用  表示取了前三項）就可以在 0 周圍近似  ：

取的項數越多（注意看下圖中的  ），對  的近似就越好：

當  時，麥克勞林級數可以無限逼近於  ，這些是泰勒級數的基本概念[4]，這裡不再贅述。

1.2   

這個函數：

它的麥克勞林級數為：

隨著  增大，麥克勞林級數會無限逼近  之間的  ：

這樣的結果還是比較好理解，因為  有兩個無窮間斷點：

而它的麥克勞林級數是連續函數，自然沒有辦法跨越這兩個間斷點，所以  的麥克勞林級數的完整寫法是：

即在  區間才有效，超出這個範圍，麥克勞林級數就沒法逼近  了：

因為左右距離展開點  都是 1 ：

所以也說在  點處，此泰勒級數的 收斂半徑 為 1 。

1.3  

而這個函數：

它的麥克勞林級數為：

隨著  增大，麥克勞林級數：

努力地在擴大近似的範圍，但依然被局限在   的陰影內，所以麥克勞林級數的完整寫法應該是：

可是這又沒有什麼間斷點，為什麼會這樣？

直到有一天，把：

的定義域從實數域變到複數域：

然後作出這個函數的圖像（因為自變量  和函數  都是二維的，本來要畫出來需要四維空間，下圖只畫了  的實部）：

用垂直於實軸的平面去切這個函數：

可以看到，交線即是  ：

而用垂直於虛軸的平面去切這個函數，交線即是   ：

這兩個函數原來是一個複數域函數的不同部分（乘以  就相當於旋轉 ）：

讓我們嘗試這麼來演示，  作用在虛軸上（在三維圖中很難看清楚細節，讓我們將它旋轉 來表示），收斂半徑為 1 ：

自變量旋轉 得到的就是   ，同時收斂半徑也跟著旋轉：

所以  的泰勒級數（下圖中綠色的曲線）被鉗制在   這個範圍內（這裡的「所以」可能有點突兀，不過此處只是為了給一個直觀，具體的證明可以參見維基百科[5]）：

自變量是可以任意旋轉的，因此收斂半徑旋轉後會得到一個 收斂圓 。維基百科上有幅圖畫的很清楚，圖中白色的圓圈就是收斂圓（虛軸、實軸各自的泰勒級數也畫在圖上了）：

這個問題點亮了我，讓我認識到，只知道實數，就好像生活在二維空間中的紙片人：

突然發現有一個黑點在草地上忽大忽小的閃爍，紙片人完全不知道怎麼去解釋：

如果切換到三維視角去的話，問題就很簡單了，原來是一個三維的球體穿過二維平面：

而這種讓我們大開眼界的視角，正是複數。

（關於  的泰勒級數的神秘現象，早就被柯西大神注意到了，也是他證明了收斂圓的存在。）

1.歐拉公式，複數域的成人禮

2.複數，通往真理的最短路徑