泰勒展開式

2021-01-14 數學佬

泰勒展開式

曾經數學佬寫過一篇泰勒展開式的推文，回頭看看真是簡單透了，決定重新再寫一次，借用知乎上的一篇回答，或許會更加形象有趣。

我們從一位著名的藝人入手，或許你認得，不認得說明你很好。

 

這是曾經紅遍大江南北的女神，如今已經退役結婚了，生子……據說是個奇蹟。

我們現在的想法是要把這張照片畫出來。

首先要保證整體尺寸上大致相同。

 

不要小看這一個方框，它有著女神一樣的比例，是女神的近似體。（別打臉……）

接著我們要在這個基礎上細化，保證局部和女神的局部相似，於是就修正成了這樣

 

儘管還是很粗線條，但婀娜的身材已經顯現出來了。接下來近似它的細節、服飾、大腿、小腿、髮型。

 

嗯，女神的特徵已經很清晰了，我們要繼續深化、細化，更準確模擬。

 

如此繼續，不斷細化、不斷近似，經過無窮次細化後，我們畫出來的女神一定會無限接近真實。

 

這個過程很簡單，也很熟悉，所有拿起過畫筆的小朋友都會，數學家當然也會，不過，他們要模擬的不是女神，而是討厭的函數。你沒看錯，真的是討厭的函數，例如y=cosx。

最早幹這個事的數學家，叫泰勒，後來我們說得泰勒展開，都是因為他。他希望把讓人討厭函數y=cosx近似成另一個不讓人討厭的函數，什麼函數不讓人討厭呢？多項式顯然是最佳選擇。於是假設

顯然，首先應該滿足，代入計算得

 

畫圖發現，這個模仿只有一個點近似，其他也太不像了，於是繼續細化，提高多項式的次數。

顯然，我們可以嘗試讓，稍微計算下

 

雖然圖像還是一樣，但這次可是用一次函數模擬餘弦函數了。當然還是不讓人滿意的，繼續細化。

 

這個模擬已經很接近了，對於大多數的應用已經足夠了，物理學家都是這樣用的。

（是不是物理課上你問老師，為什麼這樣替代，老師卻說，你去問數學老師？）

對於數學家泰勒，這個結果還是不讓人滿意的，明擺著還是有差距的哦。於是泰勒很無聊地繼續模擬下去。

繼續

 

居然模擬得很不錯。不過，泰勒時代沒有計算機，算了四項就快把老頭給累死了，於是想，有沒有什麼規律，能快速寫出這個模擬的多項式？

為了書寫方便，我們先約定一個符號

於是

而多項式求導很容易，哪怕求導的導的導……

於是數學家泰勒得到了一個漂亮的函數近似公式


你要多精確就有多精確，無非就是多算幾項嘛。

數學佬也挺無聊的，算個十次的cosx的近似來玩一下。

 

是不是模擬得很逼真了呢！

好！本結到此結束。

等等，等等。如果我要計算cos5，豈不是要模擬到很遠很遠？

其實也不需要，我們只要從接近5的數開始模擬，比如2π就可以了。泰勒展開在任意點的展開是

看起來複雜多了，我相信不用解釋你也能看懂的吧。

小結一下，泰勒展開式就是將一個討厭的函數，用不那麼討厭的多項式來模擬。

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