【基礎數學知識】帶你理解泰勒展開式本質?

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主要內容：更好的理解，並且記憶泰勒展開式

我們學習泰勒展開，本質上就是為了在某個點附近，用多項式函數取近似其他函數。可能有些童鞋就要問了，既然有一個函數了，為什麼還需要用多項式函數取進行近似，理由就是多項式函數具有非常多優良的性質。

比如說，多項式函數既好計算，也好求導，還好積分，等等一系列的優良性質。

好，本質已經說完了，下面給出P(x)在x=0處的泰勒展開表達式，然後再進行仔細分析。

上面的文字表述用下面的slides總結：

可以推出c0=1,在圖上表示就是0處的兩者函數值相同，都為1，如下：

既然泰勒展開的目的是在某處，兩者的函數近似相同，那麼我們不應該僅僅滿足於函數值相同，我們讓在x=0處的兩者一階導數相同，豈不更好!

這樣我們得到了一個新的等式條件，如下：

那麼我們很自然的就會想到是否還能夠找到一個限制條件，構建一個等式，將c2 也求出來，因為c0,c1就是這麼求出來的。

對的，就是這個思路，我們讓兩者在x=0處的二階導數也相等，相當於再加強一個限制，你既然要近似，就要近似的越多越好~如下圖

根據上面表達式很容易求出,c2=-1/2

於是我們得出，在x=0處，近似cosx的二次多項式表達式為：

那麼到現在的解釋和一開始給的泰勒展開式子，是否有了一定的感覺呢？

我們其實在某處的泰勒展開，就是讓兩者的函數在該處的函數值相等，一階導相等，二階導相等，...n階導相等（因為你要近似，當然是越接近越好，所有的性質都相等最好）。如下圖：

上圖就是在x=0處的泰勒展開式，分母的階乘僅僅是為了抵消對次冪求導後的連乘。

如果不是在x=0處展開，比如在 a處展開，也是一樣的。如下圖：

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