最美公式(二):泰勒展開(Taylor series)

作者 | Helen & 編輯 | 羅數君

文 1662字  閱讀時間約 5分鐘

導語：

不久前，在《最美公式（一）：e與自然》中，我們講述了關於自然底數e的故事，並證明了自然底數e在數學領域中具有著不可替代的作用。今天，小編為大家帶來的這篇文章將為讀者們介紹在最美公式中具有橋梁作用的「泰勒展開」（Taylor series）。希望讀者們喜歡！

在《最美公式（一）》中和讀者們一起重新認識了自然底數e，今天我們一起來討論歐拉公式中其他的部分。回想一下歐拉公式：

除了自然底數 e，虛數 i 以外，我們先來看看無理數pi，提到 pi，不得不提 sin 和cos，我們不如先來看看這兩個函數。初中的時候我們曾學過，sin x 的函數長這樣：

我們看一眼sin x 在 x = 0 的斜率，感覺莫名熟悉。是不是好像也是1？畫個圖驗證一下:

 

非常完美！但是還不夠，我們進一步用定義證明：

微積分的前幾節課裡我們可能就見過這個式子了，而且我們還知道這個式子等於1。但是我們還是很難說服自己，不如我們畫圖來理解一下：（注意這裡所有的單位都是弧度單位）因為這個圓是單位圓，線段AC就是我們想要的sin(h), 弧線AB就是h。想像一下，當h這個角越變越小，趨向於0的時候，h會越來越接近直線，這兩條線會越來越重合，這個比例也會趨向於1，便驗證了我們的結論。

 

那麼sin （x）的導數呢？是不是也可以用同樣的方式來思考：

 

 

我們看h，同樣的，這時候弧線DA, 長度為h，因為h無限小，我們可以把這個DA看成一條線段。現在回到DEA這個三角形，DA = h, DE = sin(x+h)-sin(x), 所以cos EDA 就是我們所要求的斜率。現在我們看圖中其實有兩個很明顯的相似三角形，DEA和AOC。（給兩個小小的提示， 角EAO = 角AOC, 另外我們可以將角DAO看成直角）。因此DEA = x, cos EDA = cos(x)。所以我們知道sin x每一點的斜率都是cos x。

同樣的方法，我們可以推導出cos x每一點的斜率都是 -sin x。

現在，我們回到e^x這個函數，我們有沒有辦法來估算一下這個函數的值呢？

如果我們很隨意的估算一下，但是又不是毫無根據， 我們直接說e^x = 1。這樣的話至少x=0的時候，這個值是準確的。換句話說，這個時候我們採取的方式是令f(x) = f(0)。那這是一個常值函數，所以準確性就比較差勁了。

那我們稍微優化一下這個估算方式呢？如果我們用一個線性函數來估算，你會想用哪個函數呢？是不是e^x = x + 1? 也就是f(x) = f(0) + f』(0)x，在這裡我們說f』(0)是f(x)在零點的斜率。是不是看起來會更接近一點了？

更進一步，如果我們想用一個二次函數來估算，丟掉整個e^x, 我們只用f(x) 來表示這個函數。假設f(x) = a + bx + cx^2, a, b, c的值是什麼？

實際上，首先我們希望 x = 0 的時候等式成立，另外，如果我們兩邊分別取一次導數（斜率），或者兩次導數（斜率）的時候，等式也要成立。

求一次導數的時候, 我們知道右邊 = 0 + b + 2cx, 斜率就是2c。

求兩次導數的時候，右邊 = 0 + 0 + 2c, 是簡單的常數項。

注釋：這裡我們可能需要一些技巧來求x^2的導數。

根據我們之前的極限定義，我們一起算算看。

x^a 形式的函數的導數，都是a x^(a-1)。學過微積分的讀者都明白。

我們可以解方程組，或許也可以根據先前的規律猜到實際上對於任何

 

因為不管e^x 的幾次導數都等於它自己，它在零點的斜率永遠是1。這樣你能猜到接下來我們會怎麼估算e的值了嗎？沒錯，我們希望兩邊每次導數（斜率）的值都相等，所以當我們的多項式變得越來越精確，我們所需要的斜率也越來越精確。最後：

 

剛才我們一起發現的這個規律，就是鼎鼎大名的泰勒展開了！這時候我們再把e^x 在零點的導數帶進去：

那麼，

就是我們想要證明的定義了！

同樣的，如果我們帶入sin x cos x。我們就會發現：

 

泰勒展開的結果我們先講到這裡。下一次我們將揭開歐拉公式的廬山真面目！請讀者們期待哦！

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