最美的公式——歐拉恆等式

2021-01-18 天津科普說



說到公式

很多人都會頭疼

然而每一個公式都推動了科技的進步

很多公式耗費了數學家一生的心血

今天小編就給大家介紹一個最美的公式

歐拉恆等式




要說歐拉公式,首先就得說說歐拉這位數學天才,歐拉是歷史上最多產的數學家,也是各領域(包含數學的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥等)最多著作的學者。數學史上稱十八世紀為「歐拉時代」。

歐拉出生於瑞士,13歲進入大學,15歲大學畢業,16歲拿到碩士學位。31歲喪失了右眼的視力,59歲雙眼失明,但他性格樂觀,有驚人的記憶力及集中力。

他一生謙遜,很少用自己的名字給他發現的東西命名。不過還是命名了一個最重要的一個常數——e。


歐拉




今天的重點,就是歐拉公式,首先從一個恆等式開始說起,下面這個公式被稱為歐拉恆等式,是歐拉公式的一個簡單特例,但是卻美妙異常,被譽為最美公式


其中,e是自然對數的底,i是虛數單位。

這個公式的巧妙之處在於,它沒有任何多餘的內容,將數學中最基本的e、i、π放在了同一個式子中,同時加入了數學也是哲學中最重要的0和1,再以簡單的加號相連。高斯曾經說:「一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力,他不可能成為數學家。」



歐拉恆等式來源於歐拉公式,歐拉公式如下所示:



歐拉恆等式   就是來源於歐拉公式的簡單推導,當x=π時,即得到歐拉恆等式。

歐拉公式的證明,可以用泰勒展開證明。



為什麼說歐拉恆等式堪稱是最美的數學公式?


(1)其中「e」是自然常數或者歐拉數,這是在微積分中廣泛運用的自然對數的底數。這是一個無理數,它的值為2.71828……。

(2)「i」是一個複數或者是虛數單位,也是-1的平方根或者方程「x^2+1=0」的解。虛數在電子工程中極為重要,並且也在量子力學中得到應用。

(3)「π」是圓周率,這個常數不需要任何進一步的介紹,因為這是世人皆知的數學常數,在歐氏幾何學和廣義相對論中無處不在。

(4)自然數「1」, 任何數與之相乘都是本身。

(5)自然數「0」, 任何數與之相加都是本身。


Tip

我們生活中很多場景都應用了歐拉的成果,比如降噪耳機就是一個例子。降噪耳機的原理是:測量周圍的噪聲,在內部瞬間形成一個與噪聲相反的信號,以此來消除噪聲。在降噪耳機中分析測量的噪聲是怎樣形成的波形時,應用的就是以歐拉公式為基礎的數學(傅立葉展開式、傅立葉分析)。

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