不可思議的歐拉恆等式

任何人看到歐拉恆等式而不覺得震撼，那麼他就不可能成為數學家。 ——數學王子高斯

人類歷史上產生過很多的數學家，其中歐拉就是數學家中的佼佼者，作為18世紀最偉大的數學家，也是人類歷史上最偉大的數學家之一，幾乎每個數學領域都能看到歐拉的影子。

歐拉13歲上大學，15歲本科畢業，17歲碩士畢業，20歲進入科學院工作，23歲成為教授，26歲已經是他們國家數學所的所長了，是不是感覺像是別人家的孩子。他的很小的時候他的父親讓他學神學，他覺得太簡單又輔修了數學，這時他的數學天賦的光芒就已經無法掩飾，被當時的數學家伯努利稱為「天生數學家」並加以培養。

歐拉是科學史上最多產的一位數學家，從19歲發表論文開始到他76歲去世，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和論文，他周圍的人評價他寫論文就像吃飯喝水般簡單，上帝可能覺得他太能幹了，在他不到30歲時讓他右眼失明了，但是並沒有阻止他進行研究。他60歲左右時，雙眼完全失明了，但他仍以驚人的毅力與黑暗搏鬥，甚至在一場大火把他大部分的成果給燒毀之後，他憑著驚人的記憶力和心算能力把損失彌補了回來，還不時有新的成果產生。在他的晚年，歐洲所有的數學家都稱歐拉為導師。

真正讓歐拉一戰封神的就是我們今天提到的歐拉恆等式：

這個公式被稱為「上帝創造的公式」「數學中最美的公式」。它美在哪裡呢？它將數學中最重要的常數（自然對數的底數e、圓周率π、虛數i以及數字中最常見的0和1）緊密聯繫在一起，讓人不由地感嘆數學的魅力。讓我們來認識一下這幾個常數：

• 自然對數的底數e 這個數是怎麼來的呢？這得從一個借錢的故事說起，一個地主借給一個窮人一塊錢，規定年利率為100%，一年結算一次，地主第二年就能拿到2塊錢；後來他規定半年結算一次，半年後他拿到1.5元，一年後他可以拿到1.5*1.5=2.25元；地主很高興，他又規定一年結算3次，一年後的本利和是

地主更加高興，以為每年只要分期次數越多，一年就可以拿到越來越多的收益，但是令他苦惱的是隨著分期的增多，連本帶利的總和不能突破一個上限，歐拉把這個

的極限記為e，e=2.71828... 即自然對數的底數。

• 圓周率π 這個沒什麼好說的，我們很多人都清楚，就是圓周長與直徑的比值。很早開始像阿基米德、張衡、祖衝之等數學家就開始研究圓周率了。π=3.1415926...

• 虛數i 說到虛數就得好好說一下數的發展歷程。像0,1,2,3...這些稱之為自然數，後來人們發現很多相反意義的數，像-1，-2...於是便有了整數，整數包括正整數，0，負整數。0和正整數稱為自然數。再後來人們在分配物品時，發現5件物品4個人分得到的不是整數，於是便產生了分數，整數和分數統稱為有理數。再後來有人在研究直角三角形時發現，如果兩個直角邊都是1，那麼斜邊既不是整數也不是分數，他們把這種除不盡又不循環的數稱之為無理數，有理數和無理數統稱為實數。進入19世紀，數學的發展已經登峰造極了，但有些人發現一旦對複數開平方，這個式子就沒法運算下去了，於是虛數i產生了，符號「i」表示-1的平方根。實數和虛數統稱為複數，自此，數的概念就已經很完善了。

我們能夠看出，以上這三個重要的常數根本沒有啥直接的關係，但是神奇的歐拉硬是把他們結合在了一起，而且還是這麼完美。

數學在外行人看來可能只是一堆無聊的符號，但在數學家眼裡，它們是這個宇宙最深奧的秘密，是大自然的運行法則。難怪有哲學家說，語言是人類的哲學，數學是上帝的哲學，當我們能真正領悟這一點時，或許我們就能真正感受到「歐拉恆等式」的魅力吧。