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一 什麼是歐拉公式
在數學中，sin函數和cos函數是最近乎完美的周期函數，e是自然對數的底，i是數學界中唯一一個平方為負的數字，這幾者一般很少有聯繫，而歐拉公式則很完美的將它們聯繫在了一起，且關係簡單明了：
圖1 歐拉公式
相信很多人第一眼看到這個公式會覺得不可思議，三角函數怎麼會和指數函數有這麼直接的關係，現在不妨來看看它的一個簡單證明。
二 歐拉公式的證明
學過高數中泰勒展開式的人應該很熟悉下面這個表達式，這是一般函數的泰勒展開式，
圖2 一般函數的泰勒展開式
e的x次方這個函數的泰勒展開式也可以通過上述表達式得到：
圖3 ex泰勒展開式
同理sin（x）和cos（x）的泰勒展開式如下：
圖4 sin函數和cos函數的泰勒展開式
將sin（x）和cos（x）的泰勒展開式相加的時候會得到下面的式子：
觀察上述式子，可以發現它已經和e的x次方的泰勒展開式相差不大了，只是有一些地方存在符號的差異，仔細觀察可以發現，cos（x）的泰勒展開式中除了x的0次冪項也就是第一項和x的4的倍數次冪的項符號為正，其餘為負。針對這個規律，可以採取對e的x次方變號的方法。對於一般的變號方法，採取的是在變量x前面乘以一個-1，但是-1的特點是偶次冪為正，奇次冪為負，無法達到想要的效果，那麼是否存在一個數字滿足4的倍數次冪的項符號為正呢？答案是存在這樣一個數字，他就是虛數單位i，於是，將e的x次方變成e的ix次方後得到新的泰勒展開式：
再次觀察這個新式子，可以發現在x的奇次冪項的位置多了一個i，而這些奇次冪正好可以由sin（x）乘以i組成，得到新的泰勒展開式：
現在將（2）式和（3）式相加可以得到：
三 歐拉公式的特殊形式
特別的，當x=Π時，歐拉公式可以簡寫為e的iΠ次方-1=0，這個式子也被人們稱為最完美的公式，它將自然對數的底數e、虛數單位i、和1完美的結合在一起，向世人闡述了數學的魅力。
主 編 | 王文星
責 編 | 饒龍江
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