歐拉公式——真正的宇宙第一公式

歐拉公式是數學裡最令人著迷的公式之一，它將數學裡最重要的幾個常數聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0。

而且它對數學領域的締造也產生了廣泛影響，如三角函數、傅立葉級數、泰勒級數、概率論、群論等都有她的倩影。

因此，數學家們評價它是「上帝創造的公式，我們只能看它卻不能完全理解它」。

而且，這個公式對物理學影響也非常巨大，如機械波論、電磁學、波動光學、量子力學等匍匐在她的腳下；難怪物理學家查德·費曼驚呼：歐拉恆等式不但是「數學最奇妙的公式」，也是現代物理學的定量之跟，因為她把最基本的5個數學常數簡潔地連繫起來，而且也將物理學中的圓周運動、簡諧振動、機械波、電磁波、概率波等聯繫在了一起.

歐拉恆等式是：

其中e是自然指數的底，i是虛數單位，π是圓周率。

這條恆等式第一次出現於1748年歐拉在洛桑出版的書Introduction，它是複分析的歐拉公式特例。

對於任意實數x，則有

令x=π代入上式，則可得出歐拉恆等式。

在歐拉公式中，虛數i佔有特殊的地位，認識這個公式就需先從i開始：

虛數i大家在高中接觸過，但那時我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什麼呢?

這裡有一條數軸，在數軸上有一個紅色線段，它的長度是1。當它乘以3的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段3，而當它乘以-1的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了180度。

我們知道乘-1其實就等於乘了兩次 i，因i×i=-1，這樣就使線段旋轉了180度，那麼乘一次 i 呢？

答案很簡單：旋轉了90度唄。

如果我們將這種運算放到坐標平面上來表示，則實軸與虛軸就構成了一組對稱線段，我們再在0處安插一個垂直此線段的軸，這樣就構成了一個平面，我們稱之為複數平面；在這個平面上，我們可以看出，虛數i的功能就是旋轉。

對於歐拉公式

這個公式在數學領域的意義要遠大於傅立葉分析，當x=π時，則有

它對描述圓周運動的物理意義就是圓心位移為0，如下圖：

這個公式的關鍵作用就是將正弦波統一成了簡單的指數形式，我們來看看它圖像上的涵義：

可見，歐拉公式所描繪的正是在複平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，這個點在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的餘弦函數，而右側投影則是一個正弦函數。

現代物理學告訴我們，宏觀宇宙的構成本質是旋轉的，帶有圓周運動和自旋性；微觀世界也是旋轉的，也帶有圓周運動和自旋性，而歐拉公式描述的核心正是旋轉與頻率，因此，在物理學定量意義上講，稱它是宇宙第一公式一點也不為過！

∑編輯 | Gemini

來源 | 今日頭條

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