歐拉恆等式:完美的數學公式

2021-03-01 火星科普

萊昂哈德•歐拉是18世紀最偉大的數學家之一，也是人類歷史上最傑出的數學家之一。作為一個多產的數學家，歐拉貢獻不可估量，他提出了許多對現代數學不可或缺的概念。

在歐拉的一生中，它出版了885份關於數學和其他學科的論文和書籍。即使是後來失明了，他仍然筆耕不輟。歐拉在失明之後還打趣地說：「現在我就更不會分心了。」 以勤奮著稱的歐拉，用他那驚人的記憶和心算能力彌補了視力的喪失。在歐拉一生豐碩的成果中，有一個以他名字命名的公式被譽為「上帝創造的公式」，那就是歐拉恆等式。

歐拉恆等式

這個公式以一種極其簡單的方式將數學上不同的分支聯繫起來，其中涵蓋了數學中最重要的幾個常數，這個公式堪稱是最美的數學公式。

（1）其中「e」是自然常數或者歐拉數，這是在微積分中廣泛運用的自然對數的底數。這是一個無理數，也是一個超越數，它的值為2.71828……。

（2）「i」是一個複數或者是虛數單位，也是-1的平方根或者方程「x^2+1=0」的解。虛數在電子工程中極為重要，並且也在量子力學中得到應用。

（3）「π」是圓周率，這個常數不需要任何進一步的介紹，因為這是世人皆知的數學常數，在歐氏幾何學和廣義相對論中無處不在。

（4）自然數「1」， 任何數與之相乘都是本身。

（5）自然數「0」， 任何數與之相加都是本身。

歐拉恆等式就是結合了這五個基本常數而建立的。

由《物理世界》（Physics World）發起的一項調查表明，人們把歐拉恆等式與麥克斯韋方程組一起並稱為「史上最偉大的公式」。物理大師費曼也盛讚這個公式為「最非凡的數學公式」。那麼，歐拉恆等式是如何推導出來的呢？

證明

事實上，歐拉恆等式是如下歐拉公式的一種特殊情況：

只要令θ=π，就能直接得到歐拉恆等式。那麼，上述的歐拉公式又是怎麼來的呢？

這個公式可以通過對e^(iθ)進行泰勒展開得到：

再根據三角函數的泰勒展開：

從而可以得到歐拉公式：

當θ=π時，這個公式就能轉變為我們所熟知的歐拉恆等式。

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