北洋數學講堂丨田剛院士暢談歐拉公式與計數幾何

2020-11-23 天津大學新聞網

本站訊（通訊員 馬長瑩 攝影 劉麗麗） 「我今天非常高興，來到了一所比北京大學歷史還要悠久的學校。」中國科學院院士、北京大學副校長田剛教授親切和藹，一句話就拉近了與天津大學師生的距離。10月13日氣溫驟降、秋雨淅瀝，而第八會議室內卻人頭攢動、一座難求。來自天津大學數學學院、精儀學院、智算學部、求是學部等多個院系百餘名師生慕名而來，聆聽田剛院士暢談歐拉公式與計數幾何。

「什麼是正多面體？」從一個簡單的問題出發，田剛教授開始了他的報告。正多面體只有五種，這是公元前300年左右古希臘數學家歐幾裡得的《幾何原本》中的著名結果。他向大家介紹了人類歷史上成就卓著的數學家歐拉。歐拉約30歲時右眼失明，60歲左右完全失明，儘管如此，他仍然靠心算完成了大量論文，成為史上最多產的數學家。他的工作使得數學更接近於現在的形態。歐拉公式被譽為最美麗的公式之一。在數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。

田剛介紹了用歐拉公式V（頂點）-E（邊）+F（面）=2來證明只有五個正多面體的過程，以及笛卡爾、萊布尼茲、歐拉、柯西等數學家們在歐拉公式證明過程中做出的貢獻，從而最終證明了歐幾裡得的定理。凸多面體的歐拉公式可以推廣到任意拓撲空間上。隨後，田剛解釋了更一般的拓撲空間的歐拉數的定義和原理，以及進一步用向量場的零點指標來表示流形的歐拉數，解釋了著名的霍普夫定理。他用通俗易懂的語言，以足球等生活中常見的事物為例，幫助大家理解如何在更一般的空間上定義歐拉數。

計數幾何問題是同樣起源於兩千多年前的數學問題，研究多元代數方程的解的個數，是代數幾何的一個重要分支。田剛談到，上世紀90年代以來，受到物理學場論研究的啟發，計數幾何發生了翻天覆地的變化。它的研究更加系統化，與數學其他分支，如表示論、微分方程等，緊密相連。量子上同調環就是一例，它對古典的計數幾何給出了更深層次的、統一的理論總結。田剛還介紹了自己與阮勇斌教授合作在1993年給出了n(d)的嚴格定義，並證明了復射影空間的量子上同調環的結合律，進而得出n(d)的遞推公式。實際上，n(d)只是現在稱為Gromov-Witten理論（GW理論）在虧格為零的情形。GW理論對應於理論物理中的拓撲場論，其數學理論由田剛教授和阮勇斌教授最先在半單辛流形上建立，之後由田剛教授和李駿教授、Fukaya-Ono教授等推廣到一般辛流形。GW理論不僅推動了計數幾何的高度發展，而且與數學的很多分支，如無窮維代數表示和可積系統等緊密相關，也為鏡對稱等重要問題提供了數學基礎。

講座接近尾聲，面對學生們的提問，田院士一一回答，耐心解答，用自己的親身經歷去指導學生們如何更高效、更深入的進行學習和科研，如何做到真正的自我提升。田剛教授對歐拉公式這一數學理論的提出和發展歷史進行了梳理，圖文並茂地列舉了大量日常生活實例，同時，對數學前沿問題進行了思考和展示，使得在場師生對於高度抽象的現代數學概念和理論有了較為直觀的認識，了解了許多相關的數學史知識。他告訴大家，數學研究永無止境，人們對數學問題的發現和研究也是不斷深入、不斷發展的，他也希望未來有更多的數學人才做出更多的貢獻。

（編輯 趙暉 趙仲琳）

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