科學網—帶自由邊界歐拉方程的幾何分析與先驗估計

2020-11-23 科學網
《純數學與應用數學通訊》2008年61卷5期
帶自由邊界歐拉方程的幾何分析與先驗估計

 

1755年，瑞士數學家和物理學家歐拉在《流體運動的一般原理》一書中首次提出無粘性流體動力學中最重要的基本方程——歐拉方程。目前，歐拉方程在工業、農業、交通運輸、天文學、地學、生物學和醫學等領域已得到廣泛應用，且正在進一步深入。

 

眾多學者針對歐拉方程開展了相關的研究工作，但對於該問題在表面張力趨於零的極限狀態的研究，目前尚不成熟。V.Arnold在其1966年開創性的論文中指出，無粘性流體力學歐拉方程可被視為一組體積維護胚上的大地線微分方程。基於這種觀點，通過討論在拉格朗日坐標系下的自由邊界問題的歐拉方程的求解，線性化拉格朗日公式解，從而對帶自由邊界的歐拉方程進行幾何分析。

 

積分區域和邊界的幾何性質分析對能量估計非常關鍵。藉助微分幾何學，首先計算求解區域相關的幾何演化量，然後在假設Rayleigh-Taylor符號條件成立的情況下，可分別在表面張力有無的情況下推導出局部能量估計，並得到收斂性定理，同時獲得該問題解的近似估計。若Rayleigh-Taylor符號條件成立，當表面張力趨於零時，該問題的解收斂於具零表面張力的歐拉流。另外，在能量估計的基礎上，可以利用迭代法構造解的存在性證明，目前此方面的研究正在繼續。

 

原文連結：http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/abstract/116308489/ABSTRACT

 

（常紅旭/編譯）

 

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