18世紀數學的發展,代數、幾何、分析三大分支開始形成

自17世紀，創立微積分學以來，便大量應用於理論物理、力學和天文學等領域，並因此刺激和推動了微分方程、無窮級數論、微分幾何、變分學和複變函數論等新分支的產生。這些新學科與微積分本身的發展成為18世紀數學最重要的內容，使分析學形成了在內容和方法上都具有鮮明特點的、獨立的數學領域，與代數、幾何並列為數學三大分支。

微積分

18世紀，數學本身的發展、數學研究活動的擴張、數學教育的改革，都為19世紀數學的發展準備了條件。微積分學的深入發展，在英國和歐洲大陸走著不同的路線。18世紀早期，英國牛頓學派的代表人物有泰勒、馬克勞林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒發現的著名定理是把函數展成無窮級數的最有力的方法；為反駁主教貝克萊對牛頓流數法的攻擊，馬克勞林發表了著名的《流數通論》，對牛頓的流數方法做出邏輯的系統的闡述。泰勒、馬克勞林之後，英國數學長期停滯不前。由於17世紀末開始的關於微積分優先權的爭論，助長了英國數學家們狹隘的民族偏見，固守牛頓的流數法，停止了與歐洲大陸的數學交流。

牛頓

而海峽對岸，分析學在萊布尼茨的繼承者們的推動下得到蓬勃發展。伯努利家族的數學家們首先繼承並推廣萊布尼茨的學說。

瑞士數學家雅各布·伯努利引用萊布尼茨的符號，並稱之為積分，萊布尼茨採用他的建議，並列使用「微分學「和「積分學」兩個術語。雅各布·伯努利還利用萊布尼茨的計算方法，定義了平面曲線的曲率半徑，研究了對數螺線、懸鏈線，發現了雙紐線等。雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利在萊布尼茨的協助之下發展和完善了微積分學。他藉助於常量和變量，用解析表達式來定義函數。在求\frac{0}{0}型不定式的值時，發現了洛必達法則。約翰·伯努利還完善和發展了積分計算法，解決了有理分式的積分問題。約翰·伯努利的學生、法國數學家洛必達根據約翰的講義，編寫了《無窮小分析》，這是第一本系統論述微分學的教科書，促進了微分學的傳播。在伯努利家族的影響下，歐拉成長為18世紀數學發展的中心人物。歐拉把伯努利家族繼承下來的萊布尼茨的分析學加以系統整理，於1848年出版了《無窮分析引論》。這部巨著與他隨後發表的《微分學原理》和《積分學原理》，標誌著微積分歷史上的一個轉折：以往數學家們以曲線作為微積分主要研究對象，而歐拉首次把函數作為微積分的研究中心。自此之後，微積分被看作是關於函數的理論。歐拉等人大大豐富了函數概念，明確區分代數函數與超越函數、隱函數與顯函數、單值函數與多值函數等。通過對一些困難積分問題的求解，建立了一系列新的超越函數，如伽馬函數、貝塔函數、橢圓不定積分等。進一步系統化對數函數、指數函數和三角函數的研究，並推廣到複數領域。

萊布尼茨

在整個18世紀，數學家們獲得很多新成果，但對函數、導數、微分、連續性等基本概念還未形成統一認識；對級數與積分的收斂問題，累次積分交換積分順序問題，微分方程解的存在和惟一性問題等也少有過問。對微分基礎的嚴密性更是很少關注。

除歐拉的函數理論外，法國天才數學大師拉格朗日試圖使微積分擺脫無窮小量和極限，而採取所謂的「代數的途徑」。他在1797年出版的《解析函數論》中，提出用函數的泰勒級數來定義它的各階導數，並以此作為微積分理論的出發點。法國數學家達朗貝爾也試圖對微積分做出嚴格的論證，首次把極限理論作為微積分的基礎，並給出單調遞增變量的極限的嚴格定義。歐拉、拉格朗日和達朗貝爾的工作為19世紀微積分的嚴格表述提供了方向。微分方程

常微分方程的發展始於17世紀。三體問題、擺的運動、彈性理論等方面的數學描述引出了一系列常微分方程。18世紀的數學家主要致力於尋找常微分方程的通解。

萊布尼茨給出了齊次方程和線性方程的通解，他還和伯努利兄弟利用某種變換把伯努利方程化為線性方程；約翰·伯努利給出高階線性方程的降階法；1728年，歐拉開始對二階方程進行系統研究，用指數變換求出常係數線性方程的通解，還建立了任意階常係數齊線性方程的古典解法；丹尼爾·伯努利和義大利數學家黎卡提等人對某些類型的常微分方程進行了深入研究。18世紀中葉，由於數學物理中的弦振動問題，開始了偏微分方程的研究。

1746年，達朗貝爾建立了第一個弦振動方程；歐拉又將這種方程推廣到二維和三維的情形；由於對萬有引力的研究，歐拉在1752年又建立了位勢方程；法國數學家拉格朗日和勒讓德，深入研究了位勢方程解的性質，尤其勒讓德引出所謂「勒讓德多項式」。一階偏分方程首先出現在流體力學和幾何問題之中。到18世紀末期，微分方程已發展成為一門極重要的數學學科，並且成為研究自然科學的有效工具。

變分法

變分法的發展是與微分方程的發展交融在一起的。在17世紀末，約翰·伯努利向數學界提出挑戰，徵求對「最速降線」問題的解。該問題與求普通的函數極值不同，它是尋求一個滿足某些條件的極值函數，即泛函的極值。牛頓、萊布尼茨、洛必達、伯努利兄弟等分別給出了正確的答案。

變分法的奠基者是歐拉，他從1728年開始尋求泛函極值的一般解法，1736年得到泛極值有解的必要條件，陸續求出許多泛函問題的極值。法國數學家克萊羅於1733年發表的論文《論極大極小的某些問題》是變分法的第一篇重要論著，而歐拉發表於1744年的論文《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》是變分法發展史上的裡程碑，它標誌著變分法作為一個新的分支的誕生。拉格朗日在18世紀中期開始研究變分法，在1755年的論文中解決了更廣一類的問題，也得到了歐拉的必要條件。拉格朗日和歐拉通信討論有關泛函極值的問題，並把這種新方法稱為變分法。拉格朗日還首先把變分法置於分析的基礎之上，充分利用變分法來建立分析力學體系。

複變函數

18世紀三四十年代，歐拉利用冪級數詳細討論了初等複變函數的性質，並得到了著名的歐拉公式。達朗貝爾和歐拉分別在1752年和1777年的論文中討論複函數的導數存在的條件，導出了著名達朗貝爾-歐拉方程(後來更多地稱為柯西-黎曼方程)。在這一時期，法國數學家拉普拉斯也研究過複函數的積分。

第一個試圖建立複變函數的系統理論的是拉格朗日，他想利用冪級數來建立解析函數的全部理論，但是沒有獲得成功。儘管如此，他們的工作已為19世紀複變函數的全面發展奠定了基礎。變分法、複變函數和微積分一起，形成了「分析」的廣大領域。在18世紀，分析的熱度遠遠超過代數和幾何，數學家們力圖用純分析的手法以擺脫對幾何論證的依賴，這種傾向是18世紀數學發展的一個特點。

解析幾何

在18世紀，幾何與代數也都獲得了一定的發展，解析幾何成為一個獨立的充滿活力的分支。雖然牛頓和雅各布·伯努利對特殊問題曾用過極坐標，但極坐標的正式、普遍使用開始於瑞士數學家赫爾曼於1729年用極坐標研究一般曲線的工作，並立了從直角坐標到極坐標的變換公式。英國數學家斯特林把平面二次曲線的一般方程化為標準型，歐拉建立了平面曲線的參數方程。

空間解析幾何是在18世紀發展起來的。約翰·伯努利引進了現在通用的三個坐標平面；法國數學家帕朗最早使用三個坐標變量的方程表示曲面；克萊羅和赫爾曼建立了空間曲線和二次曲面的方程等。歐拉和法國數學家蒙日對空間解析幾何也都有過重要工作。前者用坐標變換把三個變量的二次方程化為標準型，得到6種曲面；後者闡明二次曲面的截線是二次曲線，並研究了直紋曲面的性質等。

微分幾何

微分幾何在很大程度上也是微積分的自然產物，與解析幾何同時發展起來，並在18世紀形成獨立的學科。到17世紀末，得到很多平面曲線的研究結果，18世紀主要是發展空間曲線和曲面的理論。

空間曲線的理論由克萊羅開創，經歐拉的工作而完善。克萊羅於1731年解析地論述了空間曲線的基本問題，他稱空間曲線為「雙曲率曲線」，研究了其切線、法線，並給了弧長表達式；歐拉為了探索扭曲橡皮帶的形狀問題而開始空間曲線的研究。用參數方程來表示空間曲線，引進球面指標線的概念，推導出曲率半徑的表達式；法國數學家朗克雷也研究了空間曲線理論，給出了撓率公式；克萊羅、歐拉、朗克雷的工作在19世紀被柯西發展。曲面理論是從研究曲面上的測地線開始的。

歐拉在1760年的論文《關於曲面上曲線的研究》中建立了曲面的理論，對微分幾何做出了重要貢獻；蒙日自1771年開始發表了一系列論文使微分幾何在18世紀發展到高峰。他及其學生全面概括了空間曲線的一般理論，並在可展曲面、極小曲面、曲面曲率及各種曲面族等方面獲得了系統的結果。蒙日還通過微分幾何的研究建立了偏分方程的特徵理論。蒙日的《畫法幾何學》在18世紀重新喚起對綜合幾何的興趣。他指出畫法幾何只是投影幾何的一個方面，這促進了更一般的投影幾何學與幾何變換理論的發展。代數學

在18世紀，代數與分析很難分開。一方面，許多情形下，代數都服從分析；另一方面，大量促進代數發展的因素來自分析。數學家對無理數和複數的認識有了一定進展。歐拉、德國數學家朗伯、法國數學家勒讓德等人研究了圓周率的無理性，並區分了代數數和超越數。歐拉提出對複數的對數的正確認識，達朗貝爾關於一切虛數都有形式a+bi的斷言逐漸被同時代人接受。

方程理論的研究是18世紀代數學的主要內容。從18世紀中葉開始，許多數學家如達朗貝爾、拉格朗日、歐拉等都在研究代數基本定理。直到1799年，高斯才給出第一個實質性的證明。高於四次的代數方程的根式解問題始終困擾著18世紀的數學家；高斯對二項方程的研究及拉格朗日對方程的根的有理函數及其置換的研究，為19世紀代數學的革命性發展開了道路。

概率論

18世紀，概率論逐漸發展成為一個數學分支。其奠基人是雅各布·伯努利、法國數學家棣莫弗和拉普拉斯。

雅各布·伯努利研究了「擲n個骰子所得點數總和等於m」的問題，開母函數方法的先河，最重要的貢獻是建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數定律，發表在1713年的遺著《猜度術》中；棣莫弗的《機會論》也是早期概率論的重要著作，其中使用了正態分布曲線，推導出n!的漸近公式，即斯特林公式；拉普拉斯系統總結了前人的工作，於1812年出版了《概率的分析理論》，對古典概率做出強有力的綜合。

18世紀的數學研究，大部分與歐洲各國的科學院相聯繫。在大學裡長期存在著數學教學與研究分離、脫節現象。到18世紀末，哥廷根大學首先強調教學與研究的結合。法國大革命期間建立的巴黎綜合工科學校和巴黎高等師範學校，則成為新型的科學教育和研究機構的典範。社會政治環境對18世紀數學的發展有直接的影響。英國學術界的保守氣氛，同擁教保王的政治環境不無關係；而法國大革命則提供了社會進步促進數學發展的典型史例。18世紀，法國最優秀的數學家，幾乎都被吸收到革命政權的各項改革活動中去。而拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒讓德等人都受聘出任巴黎綜合工科學校或巴黎高等師範學校的數學教授。蒙日還兼任綜合工科學校的校長。他們的工作，使這兩所學校成為新一代數學家的搖籃。所有這些都為19世紀數學的大發展奠定了基礎。