（一）古代幾何作圖三大難題
在公元前6世紀至公元前4世紀之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三大尺規作圖問題，這就是著名的古代幾何作圖三大難題。
1.三等分角問題：將任一個給定的角三等分
2.立方倍積問題：求作一個正方體的稜長，使這個正方形的體積是已知正方體體積的二倍。
3.化圓為方問題：求作一個正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。
（二）解析幾何的出現
解析幾何的出現，使人們可以通過解代數方程來解答幾何問題。因此，尺規作圖三大難題的解決，同解代數方程聯繫起來，由於無論是二次方程、三次方程、還是四次方程，都能通過根式求他的一段一般解，於是很多數學家爭相研究和尋找根式求解五次方程的公式。經歷16世紀的後半頁、17世紀、18世紀、直到19世紀初，很多數學家和數學愛好者都把它作為檢驗自己才能的試金石，可是毫無例外，他們都失敗了。
（三）阿貝爾
1824年，挪威22歲的數學家阿貝爾（N.H.Abel，1802-1829），利用置換群的理論證明了一般五次以上的代數方程的根式解法是不存在的。阿貝爾一方面證明了有的方程不能用根式解，另一方面也舉例證明，有的方程能用根式解。於是，能用根式解或者不能用根式解的方程到底用什麼來判斷呢？阿貝爾還沒來得及回答就匆匆過世了。
（四）伽羅瓦
在阿貝爾去世後的第二年，法國數學家伽羅瓦（Galois，1811-1832）完成了這一項艱巨的工作。並在阿貝爾研究的基礎上進一步發展了他的思想，把全部問題轉換或歸結為置換群及其子群結構的分析。這個理論的大意是，每個方程對應於一個域，即含有方程全部根的域，稱為該方程的伽羅瓦域，這個域對應一個群，即這個方程根的置換群，稱為該方程的伽羅瓦群，伽羅瓦域的子域和伽羅瓦群的子群有一一對應關係，若且唯若一個方程的伽羅瓦群是可解群時，該方程是根式可解的。作為這個理論的推論，可以做得出用圓規、直尺（無刻度的尺）、三角分任意角和作倍立方體不可能等結論。
註：關於阿貝爾與伽羅瓦的生平事跡請看我發的文章《數學史20大數學家之—阿貝爾和伽羅瓦，頭角崢嶸之際便與世長辭》