自古希臘始，數學作為理性科學的核心逐漸被人們重視。經歷3000年理性的發展之後，得益於一些重大基礎數學問題的突破，人類探索和發明的數學知識漸漸轉化為生產力，終將自身帶入了信息文明的時代。儘管如此，一些懸而未決的數學問題歷經千年仍頑固地為自身保守著秘密。每一個問題的解決，也許就意味著找到一座隱匿著未知真理的巨大寶藏。
比如數學中最古老的未解之謎——孿生素數猜想，就是由古希臘著名數學家歐幾裡得（Euclid）提出，距今已近2300年。關於該問題最重大的突破由華人數學家張益唐於2013年獨自完成。
1900年，作為當時世界數學領域的領袖人物，德國大數學家希爾伯特（Hilbert）提出了雄心勃勃的23個數學問題，其高瞻遠矚的目光在很大程度上為整個20世紀的數學發展繪製了宏偉的藍圖。下面筆者收集整理一下有關歷史上還有數學題現在還沒有解開，有待於智慧者不斷去徵服。
這些數學題曾經「坑爹」到無以復加！
幾千年以來，人類在研究數學的過程中，提出並解決了很多難題。有些數學難題不僅玩壞了很多研究者，其解決的過程或結果也讓人覺得十分坑爹。
第五名 古希臘三大幾何難題
這是三個尺規作圖題，即只使用圓規和沒有刻度的直尺作出下面的東西：
1、 倍立方體：求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍
2、 化圓為方：作一正方形，使其與一給定的圓面積相等
3、 三等分角：分一個給定的任意角為三個相等的部分
解決：
問題提出大約在公元前400年，直到1830年開始，這三個問題才陸續「解決」，歷經兩千多年。化圓為方問題在林德曼證明π是超越數後「解決」。其他兩個則是要利用伽羅華的抽象代數理論「解決」，而這個理論在剛出爐時，柏松大牛的評語是：「完全不能理解」。而最後的解決方式，也就是結論，則是「沒有結果的結果」——沒有任何尺規作圖辦法完成上面三個中的任何一個，它們都是作圖不能問題。
第四名 五次方程求根公式
我們從初中開始就開始學習二次方程ax+bx+c=0的求根公式。先求判別式Δ，然後對Δ進行討論，得到方程的根，於是二次方式的求根公式就得到了。其實數學也經過了長期的研究，得到了三次及四次方程的求根公式。而對於五次方程ax^5+bx^4+cx+dx+ex+f=0，卻一直沒找到求根公式。
解決：
一個叫阿貝爾的數學家在他21歲那年發現，五次方程求根公式是不存在的（又是坑爹的不存在）。他把他的結果印成了小冊子進行了分發。據說高斯和柯西兩位大數學家都得到了過這個小冊子，高斯沒認真看，因他覺得阿貝爾不可能解決作為「數學王子」的他都沒辦法解決的問題，而柯西連看都沒看就把小冊子當廢紙扔了。後來，因為一直沒得到認可，貧病交加的阿貝爾27歲時在絕望中死去。這位有如此重大發現的數學家，生前最大的理想是成為一所大學的講師，而這個願望到死也沒能實現。
第三名 四色定理
四色定理的通俗版本是：「任意一個無飛地的地圖都可以用四種顏色染色，使得沒有兩個相鄰國家染的顏色相同。」這最初是由法蘭西斯·古德裡在1852年提出的猜想。當然，作為一個數學定理，四色定理有著更為嚴謹的數學敘述，是關於拓撲或者圖論，這裡就不細述了。
解決：
四色猜想剛提出時，並不被數學家們重視，比如哈密頓就說「不會嘗試解決這個四色問題」。後來在德·摩根的不斷推動下，才開始進入數學家們的視野。歷史上，曾有一個叫肯普的倫敦律師聲名證明了這個猜想，他的證明幾乎已經得到了學界的承認，甚至已經得到《自然》雜誌的確認。對於一個非專業人士解決的問題，人們開始認為他不難。那個時候，有一所大學給學生留下的習題是「證明四色猜想，且不得超過一頁紙的文字，30行算式以及一頁紙的圖」。而劇情的反轉在這個證明公開的11年後，有人發現了肯普證明無法修補的錯誤，而使四色猜想重新成為公開問題。1975年，經過IBM360電腦夜以繼日近兩個月，1200小時的驗證，四色猜想被證明，成為四色定理。回想一下那個30行的要求，哆嗒數學網的小編只想說，寫作業的學生們，你們還好嗎？
第二名 連續統假設
康託爾創立集合論的同時，也發明了一種比較無窮集合元素個數多少的方法。他把無窮集合中的元素個數叫做基數。他研究了很多無窮集合的基數，發現自然數、整數、有理數、整係數方程等等，它們的基數都是一樣多的，而實數、無理數、複數、三維空間中的點，它們也是一樣多的，而且比自然數要多。他所發現的所有集合，它們的個數都不會在自然數的基數和實數基數之間。於是他猜想：沒有一個集合，它的基數在自然數基數和實數基數之間，這就是連續統假設。
解決：
康託爾為這個猜想幾乎耗費了一生，他幾次聲稱證明了連續統假設，但都發現自己的錯誤又將其聲明收回。康託爾後來產生精神問題不知道和這個猜想的證明的有沒有關係。問題在1963年終於有了個結論：連續統假設在數學家公認的ZFC公理系統下，即不能證明是真命題，也不能證明是假命題。而在康託爾那個年代，還沒有公理化集合論的概念，也就是說他的年代是無論如何也解決不了的。
第一名 費馬大定理
X^n+Y^n=Z^n這個方程，在n大於2的時候沒有正整數解！這就是費馬大定理。
解決：
費馬是在1637年閱讀一本書時，在書中寫註解時留下這個猜想的，同時，他還寫道：「對此定理，我有一個美妙的證明，但因書中空白太小寫不下。」這讓痴迷數學的研究者們，對於這個空白充滿了好奇和不甘。問題終於在300多年後的1995年被英國數學家懷爾斯證明。證明過程用到模型式等，在費馬年代根本沒有方法。懷爾斯證明的第一稿用了300多頁，在修改精簡後，縮至100多頁，發表於數學最頂級的雜誌《數學年刊》。有人感慨，那個空白的事，簡直就是費馬挖下的大坑啊。
千禧年大獎難題，21世紀數學星空下的擎天七柱
2000年初美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個「千年大獎問題」，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個「千年大獎問題」的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。其中，龐加萊猜想已經在2006年得到了解決，但其他6個問題仍未解決。
克雷數學研究所「千年大獎問題」的選定，其目的不是為了形成新世紀數學發展的新方向， 而是在於對數學發展具有中心意義的重大難題，這也是數學家們夢寐以求而期待解決的。
「千年大獎問題」公布以來， 在世界數學界產生了強烈反響。這些問題都是關於數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動。認識和研究「千年大獎問題」已成為世界數學界的熱點。不少國家的數學家正在組織聯合攻關。「千年大獎問題」 將會改變新世紀數學發展的歷史進程。
1.NP完全問題
在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裡掃視，並且發現宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。
生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。
人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克於1971年陳述的。
2. 霍奇(Hodge)猜想
二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣，最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。
不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。
霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，這些稱作霍奇閉鏈的部件，實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。最新的研究則表明，霍奇猜想與廣義相對論、量子糾纏和龐加萊猜想在更深的層次上有可能融為一體。對它的深刻認知，有助於了解宇宙中最深邃奇妙的物質構成。
3.龐加萊(Poincare)猜想
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格裡戈裡·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之後，先後有2組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特、哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。
2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
4. 黎曼(Riemann)假設
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數，它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式，然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。
黎曼假設之否認：其實雖然因素數分布而起，但是卻是一個歧途，因為偽素數及素數的普遍公式告訴我們，素數與偽素數由它們的變量集決定的。
5.楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。
基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。
儘管如此，在數學上嚴格描述重粒子的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於「夸克」的不可見性的解釋中應用的「質量缺口」假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
6.納衛爾-斯託可方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯託克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少，其挑戰在於我們要對數學理論作出實質性的進展，才能解開隱藏在納維葉－斯託克斯方程中的奧秘。
7.BSD猜想
數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾裡德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。
事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。
當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。
特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點。
昔日，希爾伯特以一己之力提出23個問題，締造了20世紀數學的輝煌。我們也有理由相信，百年之後的七大難題，會再一次成為21世紀數學星空下的擎天七柱，幫助人類文明抵達深遠璀璨的未來。
克拉茨猜想
任取一個正整數，如果是偶數，將其除以2。如果是奇數，將其乘以3再加1，然後重複這個過程，最後結果都是1。
這個問題就是著名的「克拉茨猜想」。它幾乎可以說是數學史上未解問題中表達形式最簡單的一個，也因此成為數學這棵參天大樹上最誘人的那顆果實。
克拉茨猜想據稱是上世紀30年代由德國數學家LotharCollatz提出的。但其具體出處不詳，已知的，從西拉古斯大學大學傳到貝爾實驗室，再到芝加哥大學。因早期有眾多的傳播者，所以在傳播過程中，克拉茨猜想收穫了許多名字：3n+1猜想、奇偶歸一猜想、烏拉姆(Ulam)問題、角谷猜想等。
不少資深數學家警告稱，這個問題簡直有毒，堪稱魅惑十足的「海妖之歌」：你走進來就再也出不去，再也無力做出其他任何有意義的成果。密西根大學數學家、克拉茨猜想問題專家Jeffrey Lagarias表示：「這是一個危險的問題，很多人為其如痴如醉，但目前看真的不可能解決。」
但不信邪的人總是有的。陶哲軒就是其中之一，他已經取得了迄今為止在克拉茨猜想問題上走的最遠的成果。
2019年9月8日，陶哲軒在個人博客上貼出了一份證明，表明了至少對絕大部分自然數，克拉茨猜想都是正確的。儘管這份證明算不上是完整證明，但已經算是在這個堪稱「有毒」的問題上取得的重大進展。