從《幾何原本》看科學的傳承

2021-01-17 好玩的數學


作者 | 劉瑞祥


我讀《幾何原本》的一個大的感受就是，科學是一項前僕後繼的事業。這一感受是如此之深，甚至超過了我對其邏輯體系的感受。


事實上，只要稍微涉獵一點有關《原本》的科技史讀物，比如讀一讀該書現代版本的前言、後記，我們就能體會到這一點。比如，據說早在歐幾裡得之前，泰勒斯就證明了「直徑二等分圓」這一命題，並且泰勒斯還是幾何證明的先驅，再有就是畢達哥拉斯學派對勾股定理（畢達哥拉斯定理）和「不可公度量」的發現，歐多克斯則研究了比例論並對「比例」重新定義。比例論就是因為「萬物皆數（自然數）」的破產而產生的，正是因為「不可公度量」的發現，才使得希臘人原以為嚴謹的證明變得有漏洞了，因此產生了在新的比例定義和比例論基礎上的證明。而正多面體顯然和柏拉圖有關。如此等等。


不僅如此，《原本》還對後世學者產生了深遠影響。一個眾所周知的例子是因研究平行公設而誕生的「非歐幾何」。但這並不是因研究幾何基礎而產生的唯一成果。比如學者帕施等人，已經試圖完善幾何學的基礎了。今天的數學家可以任意定義邏輯上無矛盾的體系，從而產生了各種各樣的數學分支。希爾伯特第三問題則是針對極限法解決體積問題的，而在西方這種方法始於《原本》，高斯曾經思考過這一問題，最終是希爾伯特的學生德拜給出了結論。


再以尺規作圖為例，《原本》第四卷的命題十六「作正十五邊形」顯然已經涉及到二元一次不定方程，即求滿足方程5x+3y=1的整數。而尺規作圖的判定性原則雖然已經由高斯等人解決，但還有其它方面的發展，比如進一步限定作圖工具——單規乃至鏽規、單尺乃至短尺等等。在正多面體方面，因為歐幾裡得原來的作法比較複雜，後世不斷進行改進，中國清代學者梅文鼎用正方體簡潔利索地作出正十二面體和正二十面體，可以稱得上傑作。


除了以上所說以外，阿波羅尼奧斯研究圓錐曲線、阿基米德研究圓周率，以及後世學者對「黃金分割」、勾股定理的研究，都和《原本》有密切的關係。而機器證明則可以說是從《原本》停下的地方出發的。《原本》還深深影響了牛頓、愛因斯坦，他們構建理論體系的方式，是和《原本》類似的。


《幾何原本》

作者：歐幾裡得

譯者：張卜天


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