古希臘大數學家歐幾裡德所的《幾何原本》可以說是世界上最著名、流傳
最廣的數學著作了。《幾何原本》系統地總結了古代勞動人民和學者們在實踐
和思考中獲得的幾何知識，並把人們公認的一些事實列成定義和公理，建立了
從公理、定義出發，來論證命題得到定理的幾何學論證方法。《幾何原本》是歐式幾何的奠基之作。早期的幾何學是人們關於長度、角度、面積和體積的經驗總結，它來源於人們對所生活的空間結構的認識。那麼，這裡有一個有趣的問題是：動物也會總結出關於長度、角度、面積和體積的「幾何學」嗎？
讓我們以深海魚類為例，看一下它們所生活的空間結構吧。假定你就是一
頭鯨魚。在深邃的大洋裡光線不是很有用，因為水中很暗。所以你主要靠聲音
來感受外界、與外界交流。在你的世界中，兩點之間的最短距離將是聲波走過
的路徑。對於你來說，這就相當於一條直線。這一點就是問題的關鍵。聲音在大洋中的傳播速度並非時時處處相等。在某一深度（大約2000 英尺或600 米）以下，它的傳播速度跟與水面的距離成正比。所以聲波傳播的路徑並非直線而是曲線。如果讓一束從鯨魚A 傳給鯨魚B 的聲波先向下利用較深處的較高傳播速度，然後再向上，這樣到達鯨魚B 所需要的時間就會短些。實際上我們可以更準確地描述這些曲線的性質：它們是圓心在洋面的圓弧！所以，對於鯨魚來說，人類稱之為「圓」的東西實際上是直線（兩點之間的最短距離）。
在鯨魚的幾何裡會出現一些令我們驚訝的事物，但它們完全不會讓鯨魚吃
驚。三角形三個內角之和小於180 度。那裡沒有長方形（四個角都是直角的四邊形），但有直角五邊形。最重要的是，在鯨魚幾何中曲率是負值。這就是說，最初平行的直線之間的距離會越來越大。這些現象都超出了歐幾裡德幾何的範圍，需要黎曼幾何來解釋。
古希臘數學家歐幾裡得所著的《幾何原本》中有五條公理。這五條公裡中有一條公理與眾不同，遠比其他的公理複雜，這就是著名的平行公理。正是數學家們對這一公理的懷疑，產生了著名的黎曼幾何。
平行公理：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。
19 世紀上半葉，有三位數學家分別獨立地、大膽地提出對平行公理的設想：
或許在平行公理不成立的條件下也會存在有效的幾何學。這將創建一種非歐幾
何，這種幾何將公然違反歐幾裡得在兩千餘年前設定的平行公理。就像哈密爾
頓給出的不遵守交換律的代數一樣，非歐幾何的想法同樣離經叛道。要否定平
行公理或許需要更大的勇氣，因為歐幾裡得、康德……以及兩千多年來積澱的
悠遠傳統都是這條公理的堅強後盾。
這三位革命者中的第一個是最負盛名的數學家高斯，他在19 世紀初開始試
圖證明平行公理。但大約在1820 年，他似乎逐漸確認，或許可以另外建立一種
非歐幾何。然而他從來沒有發表過他的想法，而只是在通信中模糊地對人有過
暗示。有關他這樣做的原因的最好證據可以在他1829 年寫給他的朋友貝塞爾的
一封信中找到。他在信中說，如果他發表了這一證明，他擔心有人會驚訝的「大
呼小叫」。
非歐幾何的第二位發現者是波爾約。波爾約的老爹是高斯學生時代的密友
老波爾約。老波爾約是一名數學教師，應該算是比較了解數學了，他試圖警告他的兒子，讓他不要去證明平行公理：「看在上帝的分上，我懇求你還是放棄吧。你要像恐懼情慾之火一樣恐懼它，因為它也可能會佔用你所有的時間、摧毀你的健康、讓你心中無法安寧，並破壞你生命中的幸福。」
但他的兒子沒有理會他的勸告，最終寫下了一篇24 頁的論文《宇宙中的絕
對科學》。老波爾約自然而然地給他的老朋友高斯看了小波爾約的論文。高斯不愧為偉大的數學家，他的反應完全出人意料，生動地體現了「數學家殺手」的職
業素養。高斯先將小波爾約的結果狠狠地誇獎了一番，然後鄭重地補上一句畫
龍點睛的話：「令郎所使用的方法以及他最後得到的結果，所有這些完全與我
自己的考慮一樣。」最後，再給對手給以毀滅性的打擊：「令郎發明的非歐幾何
其實毫無新意」。
實踐證明，高斯招數的威力是巨大的。不但表明這些結果高斯已經盡知，而
且還給於小波爾約以毀滅性的打擊—- 終其一生，小波爾約再也沒有發表過任何
一篇數學論文。
因為小波爾約放棄，這讓非歐幾何的大部分功績歸功於第三位發現者。他就是俄羅斯數學家羅巴切夫斯基。他最先在一份默默無聞的俄國雜誌上發表了他的非歐幾何文章；與小波爾約不同的是，他還繼續撰寫有關非歐幾何的論文和書籍，最後於1837 年成功地在《克雷爾雜誌》上發表了一篇論文。
雖然羅巴切夫斯基被人認為是俄羅斯第一流的偉大數學家之一，但令人遺憾的是，他沒能在他有生之年得到他應該得到的讚揚。在俄羅斯，他發明的幾何就叫作羅巴切夫斯基幾何；西方數學家則更為貼切地稱之為雙曲線幾何。確切地說，什麼是雙曲線幾何或羅巴切夫斯基幾何？考慮它的最佳方法是先忘記有關平行公理與歐幾裡得的一切。尤其必須忘記的是你從小到大就養成了的偏見，即歐式幾何是物質世界「自然而然」產生的幾何。
雙曲線幾何在人工雕鑿方面並不比歐式幾何多。令人吃驚的是，幾個世紀以來人們就已經知道雙曲線幾何之外的另一種非歐幾何了，只不過人們從來沒有從這個角度來看待它。這就是球面幾何。在一個球（例如地球）的表面上，三角形的內角和大於180 度。長方形不存在，但直角三角形是有的。記住地球的曲率！例如，可以畫出一個有三個直角的三角形：從北極開始，沿直線畫到赤道，然後沿赤道向東或向西繞過四分之一個地球，最後向北回歸北極。這樣你就會描出一個有三個90 度角的三角形。球面幾何中的曲率是正值。換言之，開始時平行的直線（例如在赤道附近的經線）間的距離會越來越小，而且它們最後在南極與北極會聚。過去沒有人把球面幾何看作有別於歐幾裡得幾何的一種幾何，箇中原因很簡單：我們可以把一個球體看成是鑲嵌在歐幾裡得三維空間中的形體，因此它的「非歐性質」並非顯而易見。但不妨讓我們設想，除了球面的範圍之外你無法感覺到第三維。例如，或許可以把你想像成一隻生活在一顆沒有海洋的小行星上的螞蟻，所以你想去哪裡都可以。你完全沒有空間的概念，沒有地下的概念：你知道的一切就是你的球面世界的表面。這個世界的曲率是正值，那裡的幾何也不是歐幾裡得型的。我們可以稱這種幾何為螞蟻幾何。
我們現在可以看到，世界上並非只有一個「自然」的幾何，而是存在著形形色色的幾何，它們有著不同的曲率：這些幾何從螞蟻幾何（球面幾何），到人類幾何（歐式幾何），再到鯨魚幾何（雙曲線幾何）。但故事還沒結束。這些只不過是具有不變曲率的幾何。我們也可以想像那些曲率隨地點改變的幾何。它們可以是二維、三維甚至更高維的幾何。高斯（或許受到他未曾發表的雙曲線幾何的影響）是第一個理解二維空間中變化曲率概念的數學家，而他的學生黎曼於1854 年將這一概念推廣到了更高維的情況。就這樣，他們師徒二人為20 世紀的一項劃時代的發現做出了前期準備：愛因斯坦的廣義相對論，這一理論假設我們的四維時空具有各處不同的曲率。如果沒有羅巴切夫斯基、波爾約、高斯和黎曼，愛因斯坦將永遠無法寫下他的理論中的方程。
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