最具獨創精神的數學家——黎曼

少年數學天才

1826年9月17日，在德國漢諾瓦的布列斯倫茨，黎曼（1826-1866）出生在一個鄉下牧師之家，是6個孩子中的次子。

黎曼從小酷愛數學。他6歲時開始學習算術，並顯現出他的數學天才。他不僅能解決所有留給他的數學問題，而且還經常提一些問題來捉弄他的兄弟姐妹。10歲時他跟一位職業教師學習高級算術和幾何，很快便超過了老師，常常對一些問題能做出更好的答案。

黎曼14歲時到漢諾瓦市上中學。由於經濟拮据，他總是靠步行奔波於漢諾瓦市與鄉間小村莊之間。當然他更沒錢去買參考書。幸運的是中學校長及時地發現了他的數學才能，考慮到他經濟上的困難，校長特許黎曼可以從自己私人藏書室裡借閱數學書籍。在校長的推薦下，黎曼借了一部數學家勒讓德的《數論》，這是一部共859頁的4大本的名著。黎曼十分珍惜這種讀書機會，他如饑似渴地自學起來，6天之後，黎曼便學完並歸還了這本書。校長問他：「你讀了多少？」黎曼說：「這是一本了不起的書，我已經掌握了它。」幾個月之後，校長就這本書的內容考他。黎曼對答如流，並且回答得很全面。利用校長的藏書，黎曼還抓緊時間很快地自學了大數學家歐拉的著作，由此掌握了微積分及其分支。黎曼不僅從歐拉的著作中學到了數學知識，還學到了歐拉研究數學的技巧。

大學生涯

19歲時，黎曼進入哥廷根大學學習，為了在經濟上幫助家庭以儘快找到一個有報酬的工作，他先攻讀哲學和神學，但是，除了這兩門課程以外，他也去聽數學、物理學課程。他聽了斯特恩關於方程論和定積分、高斯關於最小二乘法以及戈爾德斯米特關於地磁學的數學講座，對數學專業產生了難以割捨的興趣。

黎曼向父親講述了這一切，請求允許自己改學數學專業。父親由衷地同意了他的請求。黎曼極為高興，並深深地感激父親。

1847年，為了師從更多的大師，黎曼轉學到柏林大學，就學於大數學家雅可比、狄利克雷、斯泰納和艾森斯坦門下。他從雅可比那裡學到高等力學和高等代數，從狄利克雷那裡學到數論和分析學，從斯泰納那裡學到現代幾何，從文森斯坦那裡學到橢圓函數論。

在此期間，他極為勤奮，甚至放假期間也不休息。1847年秋假，黎曼找到幾份巴黎科學院《院刊》，上面載有數學家柯西新發表的關於單復變量解析函數的論文，他一眼便看出這是一種新數學理論，於是一連幾個星期閉門不出，潛心研究柯西的論文，並醞釀出他在這個專題上的新見解，為4年後撰寫博士論文「單復變量函數的一般理論的基礎」奠定了基礎。

黎曼不僅認真研讀大師的學術專著，而且虛心地向大師求教。有一次，狄利克雷來哥廷根度假，黎曼趁此機會向他求教數學問題，並將自己未定稿論文交給他，請他提意見。狄利克雷被黎曼的謙虛、真誠和天才迷住了。他與黎曼長談了兩個小時，給黎曼的論文提了不少意見，給黎曼正在研究的課題作了許多指點。黎曼深感受益匪淺，他說沒有狄利克雷的指點，他將不得不在圖書館裡做好幾天的吃力研究。

生活雖然清貧，但學習極為勤勉，這使得黎曼在大學畢業時獲得了豐碩的成果。1851年底，黎曼將其博士論文呈交給大數學家高斯審閱。高斯在看了論文之後興奮不已，對黎曼的論文作出了高度評價，這對高斯來說是罕見的。高斯評語道：「黎曼先生交來的論文提供了令人信服的證據，說明作者對該文所論述的這一問題作了全面深入的研究，說明作者具有創造性的、活躍的、真正的數學頭腦，具有燦爛豐富的創造力。」

思考者

貧困中奮進

1852年初，黎曼憑藉優異的學術表現取得了博士學位，並留在了哥廷根大學。十九世紀中葉的德國，科學幾乎與國家的經濟全然無關。大學的設立僅在訓練律師、醫師、教師和傳教士士，以及提供貴族子弟和富家子弟渡過引人側目及受尊敬的歲月的場所。只有正教授才可以領政府的津貼，並且可教授正規標準課程，這些課程都是一些基礎科目，上課的學生多，因此教授收到的學費也就多了，這就是為什麼當時課程水準低落的原因，因為如果課程太難，就沒有辦法收到許多學生，從而影響到教授們的收入，畢竟貴族子弟和富家子弟上大學的目的並非真心向學。

講師們則沒有政府津貼並且輪不到教基本正規課程的機會，全然靠來聽課的學生的學費維生，通常，聽課的學生不會多，因此收入也就相當微薄，生活非常困苦。擔任講師是成為正教授的必經途徑。但是卻沒有明文規定什麼時候能將一位講師升等為教授，為了照顧特別值得重視的學者而卻沒有正教授的空缺時，政府可任命他為「客座教授」，使他具有教基本正規課程的資格，增多他的收入，但是這個任命附有條件，言明政府不付任何津貼。因此，在擔任講師期間，黎曼沒有任何自主的生活費來源，生活依舊貧窮。

但黎曼不顧生活上的貧困，仍然把全部精力投向數學。他認為只要能夠勉強維持生活，能夠讓他研究數學，他就心滿意足了。他從不因經濟上的拈據而感到沮喪。他一方面積極準備「無薪講師」的就職演講論文，另一方面認真從事數學物理方面的研究工作。他的就職論文具有相當的難度。當初為了確定論文的選題，他向高斯提交了3個題目，以便讓高斯在其中選定一個。其中第3個題目是涉及幾何基礎的，這個題目黎曼當時並沒有多少案頭準備工作，因此黎曼從心底裡希望高斯不要選中它。可是，高斯對第3個題目卻深有研究，他已思考這個問題達60年之久。出於想看看黎曼對這個深奧的問題會做些什麼樣的創造性工作，高斯指定第3個題目作為黎曼就職演講論文的題目。事後，黎曼在向父親談起這件事時說，「所以我又處在絕境中了」、「我不得不做出這個題目」。

對數學物理研究，黎曼也具有無限的熱情，他當時曾對人說：「我對於把一切與物理規律結合起來的數學研究非常入迷。」「我通過對電、光、磁等之間聯繫的總研究，發現了對這個現象的解釋。這件事對我很重要，因為這是我第一次能夠把我的工作應用到未知的現象上。」這兩項研究在當時都是高水平的，因而也是極困難的。黎曼不顧生活清貧、營養不良，超負荷地忘我工作，長時期過四度而緊張地思索，以致他常常體力衰竭，甚至病倒。一旦身體稍有復原，他又繼續研究。功夫不負有心人。1854年6月10日，黎曼以「關於構成幾何基礎的假設」論文作了就職演講，受到了與會數學家們的認可和好評。高斯聽完之後大為驚異，感到這個年輕人處理這個難題非常之好，他讚不絕口。黎曼的這篇論文被人們認為是19世紀數學史上的傑作之一。

1855年哥廷根大學開始給黎曼發薪金，但相當的低。一年僅相當於200美元。這一年黎曼29歲，他家裡遭到巨大的不幸，父親和一個妹妹相繼去世，原來依靠父親生活的3個妹妹失去了生活來源。於是黎曼和他的哥哥兩人挑起了照顧3個妹妹生活的擔子。黎曼時時為一家人的生活感到焦慮。1857年黎曼一年的薪金被加到相當於300美元的水平。由於收入不多，又要照顧3個妹妹，生活擔子重，黎曼連自己的婚姻大事都不敢考慮。然而就在這一年，不幸又從天而降，黎曼的哥哥又去世了。這對黎曼來說如同雪上加霜，照料3個妹妹生活的擔子全部落在他一人的肩上。

從1855年到1859年這5年中，經濟拮据、生活清貧一直困擾著黎曼，有時一家甚至陷入對口糧都需要算計的地步。就是在這種情況下，黎曼仍不顧物質生活的貧乏，全身心地投入到數學研究工作之中，在科學的崎嶇小道上艱苦奮鬥，並獲得了令人驚異的成就。他在數學上的許多重要成果都是在這個時期內完成的。他對阿貝爾積分和阿貝爾函數的研究，開創了現代代數幾何；他首創用復解析函數研究數論問題，開創了現代意義的解析數論；他對超幾何級數的研究，推動了數學物理和微分方程理論的發展。隨著研究成果的問世，黎曼在數學界的學術聲望迅速提高。他受到許多世界著名數學家的讚揚，獲得了一個科學家通常可能得到的最高榮譽。

大師之死

1859年黎曼33歲時，高斯去世。他被任命為哥廷根大學正教授，成為繼狄利克雷之後高斯的第二個繼任者。這時黎曼的生活才開始得到改善，才開始考慮個人的婚姻問題，並在36歲時與朋友的妹妹結了婚。一年後，他的女兒出生在比薩。

但是，長時期清貧的生活、過度的操勞、發奮的研究，使得黎曼身體虛弱、精力衰竭。1862年黎曼患了胸膜炎，不久又患了肺病，一年後又患了黃疽病。在病魔纏身之際，只要有一些力氣，黎曼仍堅持數學研究工作。雖然這個時期黎曼積極就醫和療養，但因病入膏盲終無療效。1866年7月20日，黎曼那顆純潔、高尚的心停止了跳動。他過早地離開了人世，也過早地離開了數學，終年僅40歲。

黎曼是數學史上最具獨創性精神的數學家之一，他在眾多的數學領域裡作出了許多奠基性和創造性的研究工作：他從幾何方向開創了複變函數論；是現代意義的解析數論的奠基者；他親手建立了黎曼幾何，是組合拓撲學的開拓者。他對微積分的嚴格處理作出了重要貢獻；在數學物理和微分方程等領域內也成果豐碩。1859年，黎曼被選為柏林科學院通訊院士，1866年他被選為法國巴黎科學院通訊院士和英國皇家學會國外會員。

黎曼的英年早逝是德國數學界乃至全世界數學界的遺憾！但是他所留給數學界的，在他少量的已出版的論文集中，已有太多的豐富的概念，至今還未被後世數學家研究殆盡。

黎曼