一、複變函數論
1.通過複變函數的導數定義，建立複變函數論的基礎.
2.對多值函數定義黎曼曲面.
3.黎曼曲面的拓撲(黎曼是第一個研究曲面拓撲的人，他引進橫剖線的方法來研究曲面的連通性質).
4.黎曼曲面上的函數論(黎曼研究的基本問題是黎曼曲面上函數的存在性及唯一性問題.他比以前數學家的先進之處在於，函數的存在不必通過構造出解析表達式來證明，黎曼可以通過其奇點來定義，這對後世數學有重要影響.).
5.狄利克雷原理(黎曼給出其證明並有效地表述及運用狄利克雷原理，這個原理是他從狄利克雷的課程中學來的).
二、阿貝爾函數論
關於阿貝爾函數，黎曼發表過兩篇文章：一是《阿貝爾函數論》，一是《論函數的零點》.
1.阿貝爾積分的表示及分類(黎曼對由定義的黎曼曲面上所有阿貝爾積分進行了分類.第一類阿貝爾積分，在黎曼曲面上處處有界.線性獨立的第一類阿貝爾積分的數目等於曲面的虧格p，如果曲面的連通數，這p個阿貝爾積分稱為基本積分.第二類阿貝爾積分，在黎曼曲面上以有限多點為極點.第三類阿貝爾積分，在黎曼曲面上具有對數奇點.每一個阿貝爾積分均為以上三類積分的和.
2.黎曼-洛赫定理(這是代數函數論及代數幾何學最重要的定理.黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼-洛赫定理的原始形態).
3.黎曼矩陣，黎曼點集和阿貝爾函數.
4.函數及雅可比反演問題(為了研究雅可比簇，黎曼推廣雅可比函數，引進了黎曼函數).
5.雙有理變換的概念和參模.
三、超幾何級數和常微分方程
超幾何微分方程有3個奇點0，1，α，它作為二階微分方程有兩個獨立特解y1和y2，其他解均為這兩解的線形組合.黎曼的思想是當y1，y2沿繞奇點的路徑變化時必經歷線形變換.對於所有繞奇點的路徑，這些變換組成群.他把結果推廣到m個奇點n個獨立函數的情形，他證明給定線形變換後，這n個獨立函數滿足一個n階線形微分方程，但他沒有證明這些奇點(支點)和這些變換可以任意選取，從而留下了著名的黎曼問題.希爾伯特把他列入23個問題中的第21個問題.
四、解析理論
黎曼是現代意義下解析數論的奠基者，生前他只在1859年發表過一篇論文《論給定數以內的素數數目》.
五、實分析──函數觀念，黎曼積分，傅立葉級數，連續不可微函數
黎曼積分是數學特別是物理應用的主要分析工具;黎曼還是最早認識到連續性及可微性的區別的數學家之一.
六、幾何學
黎曼的空間觀念使數學及物理發生空前的變革.黎曼的幾何論文有兩篇，一篇是他的授課資格的演講，另一篇是所謂《巴黎之作》，即《論熱傳導問題》.
評價
黎曼是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一.黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想像.黎曼在其短暫的一生中為數學的眾多領域作了許多奠基性、創造性的工作，為世界數學建立了豐功偉績.
*文章部分內容整理於網絡
歡迎關注愛數學之家， 一個致力於傳播數學文化的公眾號