麥可·阿蒂亞（圖片來源：泰晤士報）
昨天，一條爆炸性的流言在網絡上、在數學家的圈子中不脛而走。據說，英國數學家、菲爾茲獎和阿貝爾獎得主麥可·阿蒂亞（Michael Atiyah）證明了黎曼猜想，並將在24日海德堡論壇的講座中發布。之後海德堡論壇的官方推特帳號證實了確有此事。儘管大多數學家對此事持懷疑態度，但黎曼猜想的重要地位，仍讓人們對那一天充滿期待。
撰文 | 韓晶晶
在海德堡論壇的議程中，阿蒂亞的報告摘要赫然在列。
雖然不像哥德巴赫猜想和費馬猜想（如今已得到證明成為費馬大定理）那樣家喻戶曉，但黎曼猜想在數學中的地位更為重要。可以說，它是當今最為重要的數學猜想，也是數學家最希望能證明或證偽的一個猜想。
當代最重要的猜想
黎曼猜想源自德國天才數學家波恩哈德·黎曼在1859年提交的一篇8頁的論文，論文題目為《論小於已知數的質數的個數》。正如論文題目，黎曼想解決的是一個數論領域的關鍵問題——質數的分布規律。
波恩哈德·黎曼
質數是大於1的自然數中，除了1和自身之外，不能被其他自然數整除的數，例如2、3、5等。數學家早已證明質數有無窮多個，但這些質數在數軸上的分布遵循什麼規律，或者是否真的存在一個精確的規律，一直是他們想搞清楚的重要難題。
黎曼把歐拉提出的一個跟質數分布相關的函數zeta 函數，拓展到了適用於整個複平面。他猜測，這個拓展後的黎曼zeta函數，所有非平凡零點都位於實部等於1/2 的直線上。（零點也就是讓函數值的等於0的點，但因為黎曼zeta函數中包含三角函數成分，所以存在周期性讓函數取值為0的點，這樣的零點就是平凡零點，此外的零點才是非平凡零點。）這就是黎曼猜想。質數的分布規律，就取決於這些零點的位置，能證明黎曼猜想，也就抓住了解決這一問題的關鍵。
黎曼本人不是做這種數論研究的，他在幾何和複變函數方面的成就更為卓越，例如，他就是廣義相對論的數學基礎——非歐幾何的奠基人之一。但就是這唯一一篇把數論和複變函數聯繫在一起的論文，就給數學界留下了豐厚的遺產。如今，在黎曼猜想的基礎上，數學家們已經提出了1000多條定理，如果黎曼猜想得到了證明，數學家當然就可以安心地在它基礎上繼續研究質數，但萬一被證偽，那數論領域恐怕會遭遇前所未有的震蕩。
一個世紀的等待
黎曼猜想讓眾多數學家魂牽夢縈。儘管數學家已經在這方面做了許多工作，但距離證明它還有相當距離。美國數學家蒙哥馬利曾經表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想。
1900年，數學家大衛·希爾伯特應邀參加巴黎國際數學家大會並在會上作了題為《數學問題》重要演講。他提出了21個對整個數學的發展都意義重大的問題，其中之一就是黎曼猜想。希爾伯特甚至說，如果能在500年後重返人間，要問的第一件事情，就是黎曼猜想解決了沒有。美國克雷數學研究所在希爾伯特的100年後也發布了7個千禧大獎難題，同樣包括黎曼猜想。
在黎曼猜想證明中做出傑出工作的英國數學家哈代（他證明黎曼zeta函數的有無窮多個零點的都位於實部是0.5的直線上）曾把黎曼猜想用作海上航行的保險措施，他在啟程前給朋友寄出一封信，號稱已經證明了黎曼猜想。因為哈代相信，上帝不會讓船沉了，從而讓死無對證的他獨享證明猜想的美譽。
攻克黎曼猜想？
總而言之，黎曼猜想是個非常重要，也非常困難的問題，如果隨便什麼人宣稱解決了它，是不會掀起這樣的波瀾的，但麥可·阿蒂亞絕對不是一般人。他是當世最偉大的數學家之一、菲爾茲獎和阿貝爾獎得主，曾擔任英國皇家學會主席，劍橋大學三一學院院長，還獲得了英國的功績勳章。他不但自己成就卓著，還培養出了不少著名數學家，可謂是英國數學界的教父。
他最重要的工作阿蒂亞－辛格指標定理把數學的兩大領域——數學分析和拓撲學結合到了起來，他與合作者辛格發現，對每一組微分方程，都可以構建出一個與之對應的幾何物體，根據這個物體的拓撲性質，又能反過來推斷出那組微分方程會有多少解。指標定理促成了這兩個領域的蓬勃發展，可以說是20世紀數學界最重大的成就之一。
（圖片來源：quantamagazine）
最初，在數學界掀起熱潮的指標定理並沒有被物理學家注意到，雖然他們有些問題正需要這種數學工具來解決。後來阿蒂亞發現，物理學家用自己的語言建立了與他定理相似的工具。據他說，物理學家自發運用的數學工具，正是指標定理中最深奧的部分，他本以為沒人會對此感興趣的。於是，阿蒂亞開始與物理學家合作，他與著名的理論物理學家，愛德華·威滕展開了頻繁的討論。最終，指標定理成了威滕幫助創建的弦理論的重要數學基礎。
可以說，阿蒂亞爵士職業生涯的前半段在溝通數學的不同領域，而在後期，他又開始致力於把數學與物理連接在一起。近些年，他又對數學與美的關係產生了興趣，他與神經科學及合作，嘗試研究數學之美對數學家大腦的影響。他們讓數學家一邊看各個公式，一邊用磁共振成像觀察其大腦活動。據阿蒂亞爵士說，根據這個他發現，歐拉公式eπi+1=0，在數學家眼中是最美的。
儘管阿蒂亞爵士成就卓著，在數學領域影響巨大，但出生於1929年的他已年近90，很少有數學家在如此高齡仍能做出影響力重大的工作。而且，他此前還有過聲稱證明了6維球面上沒有復結構，之後卻沒有下文的事跡。這些因素都讓其他數學家對此次的證明持觀望態度。
當然，如果證明是正確的，攻克了黎曼猜想的爵爺基本上可以去掉之一，成為當世最偉大的數學家了，這次究竟是黎曼猜想獲勝，還是阿蒂亞爵士獲勝，就讓我們拭目以待吧。
參考連結：
https://www.changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.phphttps://www.quantamagazine.org/michael-atiyahs-mathematical-dreams-20160303/https://www.simonsfoundation.org/2009/07/15/michael-atiyah/