大道至簡源自老子的道家思想. 道, 即理論. 大道至簡的含義就是最高深的理論其實是最樸素的道理. 繁華落盡, 唯有至簡方能久遠. 就如讀書, 初讀從簡到繁, 再讀從繁到簡, 直至瞭然於胸. 雖然黎曼的貢獻遍及幾乎所有數學領域, 但他在短暫的一生中未來得及系統地發展他的所有理論. 他的文章中看似簡單的概念和哲學, 背後卻是深刻的思考和厚重的計算. 這也解釋了為何他的思想能夠歷經百年而彌新, 跨越學科影響不減. 大道至簡是黎曼的寫照, 無論是他的數學, 還是他的一生. —— 譯者注
作者 | 季理真, 丘成桐
譯者 | 徐浩, 樓筱靜
出自 | 《黎曼全集》(兩卷本) 中文版序
12. 從傑出數學家們的原則來看歷史上最偉大的數學家
在 §2 和 §3 中, 我們引用了許多傑出數學家對於什麼是好的數學的觀點. 這一節, 我們用這些觀點來看待黎曼的工作.
數學家 Fields 把數學家分為五類, 並且給出了切實的原則. 我們從他的原則開始. 黎曼確實滿足 Fields 關於第一類數學家的所有條件: 「在第一類中, 包括了那些擁有永恆創造力的絕世天才, 能夠不斷攻克基本的難題, 變革現有領域, 開創新方向 ······ 」 於是, Fields [Rie, p. 40] 寫道:
上一代德國, 擁有兩位第一類數學家, 黎曼和 Weierstrass. 一位第一類數學家對於年輕數學家的影響超過所有其他類別數學家的總和.
如果讀者從本文開頭不間斷地讀到這裡, 那麼也許你早已忘記 §2 和 §3 的內容. 我們建議你可以再讀一遍 §2 和 §3, 同時與黎曼的工作相比較. 毫無疑問, 黎曼的工作在所有這些標準之上. 為了方便讀者, 我會重述部分如上討論的 「什麼是好的數學」, 同時增添對黎曼工作的註解.
Borel 認為數學 「是一門科學, 因為它的主要目標是服務於自然科學和技術. 這實際上是數學的起源, 也是數學問題永不枯竭的源泉. 另一方面, 它又是一門藝術, 因為它主要是思想創造的產物, 它的進步是人類智慧的勝利, 來自人類思想的深入發展, 審美原則是最終的評價標準.」
這兩方面是關聯的, Borel 繼續寫道: 「但這種在純思想世界中的智力活動也 需受制於其在自然科學中的應用.」
von Neumann 寫道: 「數學至關重要的特徵是, 它與自然科學的特殊關係. 或者更一般地, 與任何不是泛泛而談的科學的關係.」
黎曼同時是數學家、物理學家和哲學家. 不僅他研究的問題, 而且他的解法啟發自物理和自然科學中的應用. 最著名的例子是他應用 Dirichlet 原理. 他研究的數學既優雅又有著持久的影響. (值得一提的是, 只有簡單的事物才能被他人理解並銘記.)
問題是數學的中心. Atiyah 曾說: 「一個『好』問題的真正標準是人們在解決它的過程中能夠產生具有廣泛用途的強有力的新技術.」
黎曼在關於 Abel 函數的經典文章中給出 Jacobi 反演問題的解答, 這是黎曼的成名之作. 但是這篇文章中引入的新概念和新方法超越了這個問題, 並影響至今.
Borel 曾說: 「數學家的天賦之一就是能夠自然地被好的問題所吸引. 也就是那些後來顯示出重要性的問題, 即使當時不受重視.」
黎曼開創性地提出了黎曼映照定理, 後來被推廣成為黎曼面的單值化定理, 這是數學中最偉大的定理之一.
Atiyah 寫道: 「數學的精髓在很大程度上是一門將非常零散的事物拼接起來的藝術.」
用這句話來形容黎曼所有的工作和他獨立的每篇文章再合適不過了.
Atiyah 也說過: 「真正的先驅是那些特立獨行、相信自己不需要追隨前人的工作的人. 他們全新啟航, 秉持完全創新的觀點. 數學中真正全新的發現和新創的領域大都來自於這些先驅的工作.」
黎曼的大多數文章帶有他的獨特觀點, 改變了前人的看法. 他開創了新領域、新方向和新問題, 吸引人們投身其中.
Atiyah 曾說: 「如果你希望數學繼續前行, 那麼優雅是一個重要的標準. 如果想讓別人理解證明的主旨, 那麼就必須做到簡單而優雅.」
黎曼往往以簡潔和優雅的方式提出他的問題和結果. 比如他關於超幾何函數的工作. 正如 Borel 所說: 「數學很大程度上是一門藝術, 它的發展受到美學標準的推動、引導和審視.」
Atiyah 認為核心的數學 「也就是那些來自於現實物理世界和數學自身與數 和解方程相關的問題」.
如同 Gauss, 黎曼既是數學家也是物理學家, 他對數論和幾何學作出了深刻的貢獻. Klein 認為物理學應用給了黎曼無窮的靈感.
下面我們用偉大數學家的原則來討論黎曼. 如 Grothendieck 和 Atiyah 所說, 時間是最好的檢驗. 相信大多數人都會同意這個看法. 黎曼無疑已經通過了這個終極的檢驗. 即使他去世已經 150 年, 他的工作仍然充滿現代感, 不失新鮮, 許多被反覆研究至今.
Atiyah 也說: 「另一個觀點, 即評價應該基於對於整個數學的影響.」
我們只需要參看 §8 中列舉的以黎曼名字命名的數學名詞. 很難找到一個數學領域沒有受到黎曼工作的影響. 黎曼改變了我們對數學的認識和整個數學的進程.
Atiyah 繼續道: 「而且, 這一原則也能夠加強數學的統一, 避免各自為政.」
黎曼工作的主題和觀點既包括黎曼面、Dirichlet 原理這些幾何對象, 也有物理學的考慮.
Thurston 認為, 在他看來「形式化格局」是最貼切的數學定義. Hardy 也比較數學和詩人畫家等其他模式製造者, 得出結論: 「如果數學家創造的『模式』更加久遠, 那是因為它們是思想的發明.」
黎曼希望理解整個世界的運行模式. 我們可以引用黎曼的原話 [Kle, p. 233]:
我的主要工作與自然界定律的新概念有關, 它們由其他基本概念所表達. 我們可以通過熱、光、磁與電相互作用的實驗數據來研究它們之間的聯繫.
Gelfand 說過: 「真正好的數學工作其實總是充滿漂亮、簡潔、精確和瘋狂的思想.」
從他的許多文章中, 我們都可以看出黎曼工作的漂亮和簡潔. 也許他提出了一個瘋狂的想法, 即我們的現實空間是離散的. 這還有待量子幾何的檢驗.
Mac Lane 說: 「我們大多數人只在討論班和會議上和我們的同領域的學者 交談.」
在黎曼 1854 年關於幾何學基礎的試講中, 他把深刻的思想用簡單的語言加以描述, 使得非數學家亦能理解一二. 許多人認為他的這篇文章無論從內容還是文筆都堪稱傑作.
Mac Lane 還說: 「過去至少有一些數學家了解整個學科的概貌, 能夠對未來走向提出展望. 他們不局限於自己工作的領域.」
黎曼顯然是其中的代表.
Mac Lane 總結道: 「數學的進步應該由所理解的新思想來衡量, 而不是出版物的數量.」
這也契合黎曼. Gauss 的名言是 「不多但是成熟」.
Arnold 曾說: 「數學最驚人和振奮人心的特徵是它的各個不同的領域之間往 往存在著神秘的聯繫. 過去一個世紀的經驗表明, 數學的發展並非由於技術上的進步, 而是由於通過這些努力發現了不同領域間意想不到的聯繫.」
Connes 也說: 「真正有趣的事情是, 非常不同的領域之間出現了意想不到的聯繫.」
這也正是黎曼工作的寫照.
Arnold 繼續說: 「錯誤是數學重要和具有啟發性的一部分.」
黎曼關於 Dirichlet 原理的並非完全嚴格的應用被 Weierstrass 指出是他的一個主要的錯誤. 這也影響了黎曼函數論的廣為接受. 但是 Hilbert 修正了其中的錯誤, 並促進了變分法的發展.
Atiyah 說過: 「這些巨大的飛躍往往由於引入了全新的概念, 導致完全不同的觀點.」
這又是黎曼的寫照. 他引入了 Cauchy-Riemann 方程、黎曼面和模空間等全新的概念.
Atiyah 說: 「數學的使命是把思想從一個領域通過抽象化傳遞到另一個領域. 進一步, 數學研究的終極意義在於它的整體統一性. 這解釋了當今一些關鍵領域的統治地位, 比如群論 (研究對稱性)、拓撲 (研究連續性) 和概率 (研究隨機事件).」
這也詮釋了黎曼工作的另一個標誌. 黎曼是拓撲學的創始人 (Betti 數, 覆蓋空間), 他將函數視為映射或變換, 率先考慮一族而非單個黎曼面的模空間. 他關於黎曼映照定理的工作啟發了 Poincaré 和 Klein 後來通過黎曼面單值化的關於離散群的工作. 最近關於黎曼 zeta 函數零點的研究要用到很多概率論和對稱性. 黎曼關於超幾何函數的工作首次引入了單值群的概念, 後來被 Fuchs 系統研究, 也激發了 Poincaré 的工作和 Fuchs 群的概念.
Atiyah 繼續道: 「新概念可以幫助統一過去的工作並為未來發展掃清障礙. 所以它們是數學發展必不可少的組成部分. 從長遠來看, 它們與解決難題或者發展新的技巧同等重要.」
Gowers 曾說: 「數學家可以分為理論型和解題型.」 Atiyah 也說過類似的話:
數學家有時候可以分類為 「解題者」 和 「理論家」. 確實在一些極端情形這種區分非常明顯, 比如 Erdös 和 Grothendieck. 但是大多數學家介於兩者之間.
黎曼既是 「解題者」 又是 「理論家」. 但是他並非僅此而已. 通常他不解決他人的問題, 或是將他人的工作總結為理論. 他自己開闢新的方向和課題, 改變人們的思考方式. 這吸引了眾多追隨者忙於研究他的理論.
Halmos 寫道: 「對於數學成果質量的評判, 所基於的原則遠高於正確性, 但是又很難描述. 數學工作崇尚美妙, 複雜, 簡潔, 優雅, 追求滿足感和相稱性, 看起來都很主觀, 但都被廣為認可. 要成為數學家, 我們需要有天賦、洞察力、專注 度、品位、運氣、動力和想像力.」
黎曼完全經得起這些檢驗. 與其他偉大的數學家 (比如他的朋友 Eisenstein) 相比, 他在數學上起步稍晚. 他剛進大學時並未選擇數學專業.
Dyson 認為 「一些數學家是鳥, 而另一些是青蛙.」
黎曼兼而有之. 通過詳細和複雜的計算, 他擁有宏大的視野. 他也能處理具體的例子和特殊的情形.
Dyson 引用黎曼舉例: 「數學中最深刻的概念能夠將一個領域與另一個領域聯繫起來. 在 17 世紀, Descartes 通過他的坐標系將代數與幾何相聯繫. 牛頓通過他的微積分將幾何與動力學相聯繫. 在 19 世紀, Boole 通過符號邏輯將邏輯學和代數聯繫起來. 黎曼通過他引入的黎曼曲面將幾何與分析聯繫起來.」
Dehn 也以黎曼為例: 「另一方面, 最美的花環應該屬於那個將思想從黑暗中提煉出來、並加以完善的人. 即使由於環境的局限, 他無法繼續推進他的影響. 當然數學家的創造力並不僅限於他們的學科. 我們看到 Cardano 的例子. 還有黎曼的前瞻性貢獻等帶來的變革. 現在拓撲文章隨處可見, 但是說到基本性的問題, 嚴格說並未超越 Poincaré 或黎曼.」
Dyson 寫道: 「解決難題可以讓你獲獎, 但是開啟了新綱領的人物才是真正的先驅.」
黎曼從未獲得任何獎項. 他提交給法國科學院的關於熱分布的參賽文章並未獲獎. 他的生活充滿苦難, 只享受了很少幾年平靜的生活. 解決 Jacobi 反演問題使他一舉成名. 這個問題的解現在看來並不重要, 但是他引入的新觀點對於數學產生深遠的影響. 毫無疑問黎曼是一位先驅. 所以黎曼是 Dyson 論斷的合適註記.
上面提到的黎曼的工作與許多人關於數學評價標準的比較表明, 黎曼超越了許多人的期望. 他創造新課題, 新問題, 新文化, 改變了人們的思維方式和觀點. 他對數學的貢獻和影響是全局性的. 所以無論用何標準來看, 黎曼都是一位偉大的數學家.
接下來一個自然的問題是, 什麼是黎曼工作的真正特殊之處? 也許 Klein [Kle2, p. 166] 的話是好的總結:
黎曼的工作對於過去和今天的影響完全由於他的原創性和對於數學的洞察力.
關於如何看待數學的進展, Atiyah [At1, p. 37] 寫道:
回顧我羅列的這些標準, 我覺得也許我還沒有足夠強調質量的首要性. 最好的例子是黎曼, 他的論文集淺淺一卷, 但是他也許是有史以來最具影響力的數學家. 他的許多文章開闢了嶄新的領域, 即使在他去世後 100 年仍然充滿活力. 最著名的是他奠定了高維微分幾何的基礎, 為 Einstein 廣義相對論提供了必要的框架.
在結束本節之前, 我們需要回答標題中的論斷, 為何黎曼是偉大的數學家? 一方面, 很難說誰是歷史上最偉大的數學家. 另一方面, Klein [Kle, p. 231] 饒有興致地比較了黎曼和他同時代的數學家:
黎曼擁有卓越的直覺. 他全面的天賦令他超越了所有同時代的數學家. 他的興趣所至, 新闢課題, 不被傳統左右, 不受制於系統化.
Weierstrass 是一位邏輯大師. 他進展緩慢而系統, 步步為營. 他所涉及的領域, 都力爭完美.
我們可以如此形容他們的外在表現. 在安靜的準備後, 黎曼如同測光表一樣出現, 很快便熄滅了 ······ Weierstrass 則可以緩慢地操作和生效 ······
而且黎曼的興趣比 Abel 更廣, 後者只對純數學感興趣, 而黎曼的興趣包含數學物理, 對自然界充滿心理觸覺的哲學解釋 ······
英文版《黎曼全集》的編輯 Roger Baker 在前言中比較了黎曼和其他偉大數學家:
黎曼 ······ 是當代最偉大的數學家之一. ······ 他比同時代的數學家更具 影響, 為了尋找支持這一論斷的數據, 我翻閱了 J.-P. Pier 編輯的《數學的發展 1900—1950》. 黎曼在索引中提到的次數等於 Gauss, Weierstrass 和 Dedekind 這些數學家的總和.
13. 閱讀《黎曼全集》的收穫
閱讀古老的數學書籍和文章並不容易, 要理解黎曼的精煉寫就的文章更是如此. 一個自然的問題是, 我們可以從黎曼的文集中得到怎樣的收穫?
考慮到當前數學的過度專業化, 黎曼可看作是全才數學家的例子. 他超越了數學, 應用數學, 自然科學甚至哲學的界限. 他說明這種統一是有益和必要的, 同樣重要的是要時時回到數學的本源. 讀者可以通過閱讀黎曼自己的文章, 而不是後人的解釋性文章, 直接看到和感受到黎曼數學的精髓.
是的, 黎曼的文章很濃縮, 通常即使專家也很難讀懂. 另一方面, 他的文章的某些部分很直接和透徹. 他能夠很快有效地直達問題的本質. 比如他的第一篇文章, 也是他的博士論文的頭幾頁.
黎曼工作的寶藏某種意義上可與《聖經》相比. (黎曼是很虔誠的, 他可能會拒絕這種比較.) 聖經中有許多的注釋. 為了理解《聖經》的精神, 除了參加布道, 閱讀《聖經》原文 (而非翻譯) 也是必不可少的, 沒有其他的捷徑可走.
類似地, 黎曼工作中也有各種注釋. 比如有一些已經包含在本卷中, 今後一定還會有更多解釋黎曼工作的文章面世. (參閱 [Lau] [Mon] 中的參考文獻.) 但是閱讀黎曼的原作仍然是必需的.
除了學習黎曼的工作, 我們也可以學習如何思考數學, 如何在更大的科學背景下看待數學. 讀者能夠近距離感受到什麼是真正好的數學, 黎曼的工作無疑是一個標杆.
Klein [Kle2, pp. 179–180] 在 1895 年所說的這段話仍然很有啟發性:
數學從未停頓, 如同自然科學, 數學依然充滿活力. 一個一般的定律是, 雖然許多人對科學的發展做出過貢獻, 但是真正創新的突破卻可以追溯到很少幾位傑出的精英. 這些精英的工作絕不局限於他們短暫的一生. 隨著他們的思想被後人更好理解, 他們的影響也會與日俱增. 黎曼就是一個突出的例子. 由於這個原因, 請不要把我的評論看作是對過去的回顧 (這是我們帶著敬意的回憶), 而應該看作當今數學的動景.
也許閱讀《黎曼全集》的最好的原因是, 手握這樣一位偉大而獨一無二的數學家的文集必會感到愉悅. 你可以呼吸和感受到他的精神.
黎曼的工作至今充滿活力, 並將繼續激勵後來者. 希望你能夠從閱讀這本不 朽的黎曼的文集中受益!
往期文章
參考文獻
[At1] M. Atiyah, Identifying progress in mathematics, ESF Conference in Colmar, C.U.P. (1985), 24–41.
[Kle] F. Klein, Development of Mathematics in the 19th Century. With a preface and appendices by Robert Hermann. Translated from the German by M. Ackerman. Lie Groups: History, Frontiers and Applications, IX, Mathematics Sci. Press, Brookline, Mass., 1979, 175–180.
[Kle2] F. Klein, Riemann and his significance for the development of modern mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. 1 (1895), no. 7, 165–180.
[Lau] D. Laugwitz, Bernhard Riemann 1826–1866. Turning Points in the Conception of Mathematics, Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 2008.
[Mon] M. Monastyrsky, Riemann, Topology, and Physics. With a foreword by Freeman J. Dyson, Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 2008.
[Rie] E. Riehm, F. Hoffman, Turbulent times in mathematics, The life of J. C. Fields and the History of the Fields Medal, American Mathematical Society, Providence, RI; Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Toronto, ON, 2011.