黎曼幾何
現在，假定我們可知的空間範圍是無限的，但是有界的。這個命題似乎是令人費解的，可是想到地球表面就可以理解了：一個人只要能爬得了山涉得了水，他就可以在地球表面無限制地走下去，但是地球的大小是有限的。這個命題又是極為重要的，因為它是構成愛因斯坦廣義相對論幾何空間的思想基礎。
可以想像，在這樣的幾何中定義直線是非常困難的，因為連接球面上任意兩點的線都是曲線，而不是我們傳統觀念中的歐幾裡得幾何意義下的直線。如果決心用這樣的曲線來定義直線，那麼，這樣的曲線有無限多，用哪條曲線合適呢？回想歐幾裡得幾何，我們抽象出歐幾裡得直線的一個最為本質的性質：
兩點間直線距離最短。
現在，我們就用這個性質作為定義直線的出發點：
稱兩點間最短的曲線為直線。
很顯然，這個定義與歐幾裡得最初的定義是不悖的，因為《原理》中第4個定義就認為直線是一種特殊的曲線。
在日常生活和生產實踐中，人們關於「距離最短」這個概念是有經驗的，遠在歐幾裡得之前，因為航海和天文學的需要，人們就開始對球面的問題，特別是球面三角進行了認真的研究，其先驅是古希臘學者希帕恰斯（約公元前180-前125）。我們曾經提到的亞歷山大圖書館的學者們也在這方面做出了傑出的工作，梅內勞斯（約70-130）在那裡寫出了球面三角的第一部著作《球面學》，使得三角學脫離天文學而成為獨立的學科。這部著作開宗明義給出了球面三角形的定義：「在球面上大圓弧所包圍的部分」，這是連接兩點的最短弧線，古希臘的學者稱之為大圓。但關於天體（包括地球表面）研究集大成的還是亞歷山大圖書館的後期學者託勒密，他的巨著《天文學大全》共13卷，其中第1卷的附錄給出了至今發現最早的三角函數表，第2卷討論的是球面上的三角。我們曾經說過，這部巨著深深地影響了中世紀的歐洲。
球面是二維的，人們發明了經度和維度來表示地球表面的地理位置，但是維度並不表明最短距離。北京大約位於北緯40度東經116度，紐約大約位於北緯40度西經74度，因為維度相同，從北京沿著北緯40度一直向東行就可以到達紐約，行程大約為14411千米，那麼，這就是從北京到紐約的最短距離嗎？
對於球面上任意表明的兩個點，我們都能像切西瓜那樣，經過這兩個點把這個球切開，切出的軌跡正好能夠構成一個圓。我們能夠切出許多這樣的圓，並且，切的角度不同得到的圓的大小也不一樣，其中經過球心的那個圓是最大的，這便是古希臘學者所說的大圓。容易驗證：
球面上兩點間距離最短的曲線是連接這兩點的大圓上較短的弧。
地理學稱這樣的弧為劣弧。這樣，就可以在我們假設的空間中利用劣弧定義直線了，1850年法國數學家柳維爾（1809-1882）稱這樣的直線為測地線，這個名詞一直延續使用至今。如上例所示，北京和紐約兩點間測地線長大約為11005千米，這比沿著緯度測量距離大約縮短3306千米。
黎曼
我們可以看到，這樣定義出來的直線是一條封閉的曲線，並且任意兩條不同的直線必然有兩個交點，於是平行線就不存在了。但是，保留歐幾裡得的其他公理和公設，我們仍然可以構建一個無矛盾的幾何體系。1851年，高斯的學生，德國數學家黎曼（1826-1866）在哥廷根大學的就職演講中，把這種幾何推廣到更為一般的曲面，並且論證了體系的相容性，從而確立了這種幾何的數學基礎。現在人們車這種幾何為黎曼幾何，或者按照F.克萊因的分類為橢圓幾何。
關於曲面三角形，黎曼幾何繼承了古希臘人的定義，即由測地線圍成的，在這種情況下，三角形內角和大於180度，如圖（1）所示
圖（1） 黎曼幾何中的三角形
在黎曼幾何中，三角形內角和的大小是與三角形的面積有關的，在高斯曲率一定的條件下，三角形的面積越大則三角形的內角和也越大。關於這個問題的精確表達，高斯在1827年的論文中給出了一個非常漂亮的結果，如果用K表示一個曲面的高斯曲率，A表示三角形所圍成的區域，α，β和γ分別表示三角形的三個內角，那麼可以得到公式
K在A上的積分=α+β+γ-π
顯然，如果在上式中高斯曲率等於0，就得到了歐幾裡得幾何的結果，即三角形內角和為180度。因為高斯曲率等於0就意味著曲面是平坦的，這種情況在小範圍內是可以實現的，比如，地球的表面是一個球面，但在很小的範圍內我們可以認為地球的表面是平的，在這個意義上，我們也可以認為，人們通常考慮歐幾裡得幾何是小範圍時的黎曼幾何。因為曲率的表達要借用導數和微分，人們又稱這樣的幾何為微分幾何。著名數學家，美籍華人陳省身（1911-2004）在這個研究鄰域做了許多重要的工作，被授予沃爾夫獎，這個獎項用於表彰對數學的發展作出傑出貢獻的數學家，類似數學領域的終生獎。
引力場
1916年，現代物理的開創者愛因斯坦（1879-1955）在狹義相對論的基礎上，進一步發展了他的廣義相對論。在廣義相對論中，愛因斯坦設想引力場是一個彎曲的時空，光線在通過引力場時會出現彎曲，因為黎曼幾何恰好描述了這種彎曲了的空間，於是愛因斯坦就藉助黎曼幾何構建了他的廣義相對論的空間模型，在這個意義上，沒有黎曼幾何就不會有愛因斯坦的廣義相對論。在這個時候，我們應當回想經典物理的開創者牛頓，如果說牛頓經典力學的時空是以歐幾裡得為基礎的話，那麼，愛因斯坦廣義相對論的時空就是以黎曼幾何為基礎。順便說一句，愛因斯坦使用張量分析就像牛頓使用微積分那樣熟練，而張量分析是一種與黎曼幾何有關的計算方法。物理學是描述現實世界的，而數學則為物理學描述現實世界提供了語言。
幾何學是科學研究的典範，也是邏輯論證的典範，從這一講對平行線的討論我們可以更加清晰地看到幾何學的發展脈絡。幾何學研究的基礎是概念和公理，而概念和公理的基礎是人們的經驗和直覺，是人們憑藉直覺從經驗中抽象出來的。可以想像，這個階段的抽象往往會體現出很強的物理背景，比如關於點線面的定義，關於平行線的公理。隨著研究的深入，人們會發現先輩們最初的直覺可能是片面的或者是局部的，於是致力於改造，改造不成功就致力於改變，無論是改造還是改變都必須從概念和公理開始。
長時間的，反覆的經驗使人們意識到，只要新的體系是獨立的，相容的和完備的，那麼，無論是改造還是改變都是合理的。當然，新體系存在的意義還要尋求現實的檢驗。存在的東西可能是合理的，但絕對不是一成不變的，科學的結論必然會隨著條件的改變而改變，總的發展趨勢是越來越一般，因而也越來越抽象。