在Euclideanspace之中，在同一個平面上面的兩條平行線，永遠不會相交。我們經過了九年義務教育的人應該也都學過平行線的定義——就是在平面之內兩條不相交的直線。而我們自己在紙上畫一畫，也能很明顯的看出來，兩條平行線是不可能相交呢？
那麼，我們能想像到平行線若是相交的情況嗎？在一般人看來，這根本就是沒有意義的事情。而在18世紀，大多數的數學家們也是這樣想的。但是在1826年的俄羅斯，一位俄國數學家歸羅巴切夫斯基卻在喀山上發表了一篇古怪至極的演講。
他在一個十分嚴肅的學術討論會議上，提出了幾個十分聳人聽聞的定理。首先他提出了所有的線都是相交的，包括平行線。第二就是三角形角內和大於180度。座下聽這場學術會議的教授們內心都充滿了疑惑，這完全違背了常識。
想當然的，攻擊，嘲諷，以及各種壓力都朝著演說者羅巴切夫斯基而去，羅巴切夫斯基的一生充滿了各種質疑，一直到晚年的時候，他甚至被剝奪了教授職位。那麼，為何他會這樣呢？實際上這與歐式幾何中的第五公式有關。
歐幾裡得在他的《幾何原本》中提出來五條幾何學中不需要證明的基本公設，也是我們自小就學過的五大公設。但其中的第五條公設尚未被歐幾裡得證明，這就是著名的平行公裡，是給平行線不能相交這個定理提供了理論上的保障。
於是在歐幾裡得之後，許多的數學家都想嘗試著用歐幾裡得的前四個公設來證明第五公設的成立，但是連續兩千年的時間都沒有人能夠成功。因為一開始的所有幾何學家在論證的時候，都無法逃脫循環論證的邏輯錯誤。
僅有羅巴切夫斯基，他為了避免這樣的循環論證，採取了歸謬法來論證第五公設。就是先假設第五公設不成立，隨後在推出這個已經不成立的第五公設與其他的四個公設有矛盾。以此來證明這個第五公設為一個多餘的公設。
但也就是這個不同尋常的論證辦法，導致黎曼發現了一個全新的幾何體系。就是後來的非歐幾何學。而其中最重要的，便是其論證了所有的線都是相交的。但事實上，那個年代的科學家們顯然不願意打破長久以來的規則。
羅巴切夫斯基在發表了這個演講之後，一直就生存在質疑之中。他經歷了打壓，嘲諷，剝奪地位等等經歷。卻一直沒有放棄他的理論。其在1856年去世，但是在去世之前的他還在病床上堅持向學生口述自己的理論，並編撰了《論幾何學》這本書。
好在12年後，也就是1868年。一位Bertrami的科學家發布了一篇關於研究非歐幾何學的解釋論文。說明了非歐幾何是存在與歐式幾何中的曲面空間，並表示了歐式幾何也是真實的。才令這種被所有人認為是荒謬的非歐幾何學翻了身。
而關於平行線到底相交嗎？在不同的理論中有不同的答案，如若是在歐幾裡得幾何學內，答案就是不想交。若是在非歐幾何學的領域內，那麼答案就是相交的。而非歐幾何學如今被廣泛的應用在航海以及航空之上，還是後來愛因斯坦創造相對論的數學工具了，也是其理論基礎。