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避免受到日常理解的「直」的含義幹擾，日常理解的「直」和「彎」只是相對的，根本沒有絕對的「直」和「彎」；為方便你理解，閱讀到關於空間、表面之類時，你可以想像你是一隻在這個空間或表面上的小螞蟻，這樣可以方便你理解；深呼吸三下，開始閱讀...
歐氏幾何
歐幾裡得幾何簡稱「歐氏幾何」，是幾何學的一門分科。數學上，歐幾裡得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，它就是建立在五條一般性的公理和五條幾何學公理之上的。
五條一般性的公理：
如果a=b, b=c, 那麼a=c；如果a=b，c=d，那麼a+c=b+d;如果a=b，c=d，那麼a-c=b-d;彼此能重合的物體（圖形）是全等的;整體大於部分。
五條幾何學公理：
由任意一點到另外任意一點可以畫直線（也稱為直線公理）；一條有限直線可以繼續延長；以任意點為心，以任意的距離（半徑）可以畫圓（圓公理）；凡直角都彼此相等（垂直公理）；過直線外的一個點，有且僅且做一條該直線的平行線（平行公理）。
有了五條基本公理和五條幾何公理，歐幾裡得又定義了一些基本的幾何學概念，比如點、線、夾角等等，在這些基礎之上，他把當時所知的所有幾何學知識都裝進了一個極為嚴密的知識體系，就這樣構建了我們熟知的歐幾裡得幾何學。
我們都知道，公理都是用來推導其他命題的起點。公理和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能由其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，所以公理都是不證自明的，或者說無法證明的。
對於幾何學前四條公理，數學家們都沒有異議，唯獨對第五條平行公理，也就是「過直線外的一個點，可以做一條，而且僅可以做一條該直線的平行線，至於平行線，就是平面上永不相交的兩條線。
在數學史上，就有兩個人就把幾何學中的第五公理改了，然後依照邏輯，各自創立出一整套能夠自洽的新的幾何體系。
第一個改變第五公理的人是做羅巴切夫斯基，他假定過直線外一個點，能夠做該直線的任意多個平行線；
第二個改變第五公理的人是著名數學家黎曼（就是提出黎曼猜想的那位），他假定經過直線外任意一個點，一條平行線也做不出來。
羅巴切夫斯基和黎曼由於對幾何學中的第五公理進行了修改，各自推導形成邏輯自洽的知識體系，由於得出的很多結論都不符合歐氏幾何，因此它們被統稱為非歐幾何。
非歐幾何·羅氏幾何
假定過直線外一個點，能夠做該直線的任意多個平行線。如果我們承認他所作出的這個假設，並且應用由此而來的全部結論，那麼空間就由我們平時熟悉的方方正正的形狀，變成了馬鞍形，也稱為雙曲面。
在這樣的空間裡，三角形的三個角加起來就小於180度了。此外，很多歐幾裡得幾何的結論在這個新的體系中都要修改，但需要指出的是，這個新的幾何學體系本身是自洽的。今天它就以發明者羅巴切夫斯基的名字命名了，當然我們為了簡單起見，就稱呼它為羅氏幾何。
非歐幾何·黎曼幾何
假定經過直線外任意一個點，一條平行線也做不出來（例如在地球上畫一條平行於東經180度不相交的平行線，是畫不出來的，所有的線都相交於兩極點），這樣構建的幾何學被稱為黎曼幾何。
在黎曼幾何中，空間被扭曲成橢圓球的形狀。這個空間每一個切面是橢圓，因此它也被稱為橢球空間。如果你在上面畫一個三角形，它的三個角加起來大於180度。
這個結論你其實在地球上很容易證實：你從北極出發往正南走100米，再往正西走100米，最後往正北走100米，你又回到了出發的原點，也就是北極點。你走過的這個三角形，三個角之和為270度。
以上三種幾何系統，我們可以通過這樣做簡單、形象的理解：
你拿著一張紙，把紙平放（即曲率為0）在桌面上，那麼在這張紙上建立的幾何知識體系就是歐氏幾何；假設你把紙裹住一個球（即曲率為正，收斂的），那麼在這個球面上建立的幾何知識體系就是黎曼幾何；至於羅氏幾何，我暫沒有想到合適的簡單方法讓你理解，借用知乎大神的解釋：你家正北面10000米有一個火車站A，正東面10000米有個火車站B，而一條鐵軌最短路徑連接了A，B火車站，那麼這條鐵軌將離你家不到1米，是不是有一種「看似天涯，實則咫尺」的感覺。
我們從中有哪些收穫？
只要前提基礎條件牢固可信，邏輯推導過程嚴謹，無論結果是怎麼的不可思議，你都應該接受；今天我們介紹的三種幾何系統，它們90%的公理都是相同的，最後差出了一條看似最無關緊要的公理，但是，由此之後，發展出來的知識體系就完全不同了。我們時常在學習別人的經驗時，覺得似乎自己學到了，但是做出來的東西就是不一樣。大部分時候，這種差異來自於細節，可能就是10%。但是，我們常常會滿足於90%的一致性，忽略了那一點差異，這就導致了結果完全不同。應該有一種理性眼光，在沒有明確說明之前，大家的認同其實會有誤解。比如我們常常說深顏色，並不覺得這個概念不清晰，但是不同人理解的深顏色可能不同。