並不神秘的非歐幾何,它究竟講的是什麼?五分鐘帶你搞懂

歐氏幾何是人類創立的第一個完整的嚴密的(相對而言)科學體系。它於公元前三世紀由古希臘數學家歐幾裡得完成,歐洲數學2000年發展史，幾乎有四分之三的時間裡歐氏幾何一統天下，對科學和哲學的影響極其深遠。直到魏爾斯特拉斯發起的分析算術化運動使代數從歐氏幾何中完全脫離以及非歐幾何的誕生才結束了歐氏幾何的統治地位。

其中，非歐幾何的誕生影響著現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展，今天我們就來談一下非歐幾何與發展。

歐氏幾何第五公設問題掀起的風波

歐幾裡得的《幾何原本》標誌著非歐幾何的誕生，在《幾何原本》裡，歐幾裡得給出了 23 條定義、5條公理、5條公設，由此推證出48個命題。公理是指在任何數學學科裡都適用的不需要證明的基本原理，公設則是幾何學裡的不需要證明的基本原理。近代數學則對此不再區分，都稱「公理」。

這五大公設中，由於第五公設的內容和敘述比前四條公設複雜，所以引起後人的不斷研究和探討。

因為前四條公設都可以用《幾何原本》中的其餘公設、公理和推論證明，而人們始終相信歐氏幾何是物理空間的正確理想化，所以眾多數學家就嘗試用前4個公設、5個公理以及由它們推證出的命題來證明第五公設，然而都沒有成功。

第五公設難題：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。

論證的不成功引發了數學家的疑義，數學界由此開始了對「第五公設難題」的討論。

數學家還嘗試用更簡單、明暢的語言來敘述這條公設，從而更好地理解它並解決它，古希臘數學家普羅克魯斯在公元5世紀就曾經試圖重現陳述它，然而這些替代性陳述效果並不比原來的文字更好。直到 18 世紀普萊菲爾才算總結出一個比較簡單的替代性公設：過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行」。 （我們中學教材就常用這個敘述形式來替代第五公設。）

從公元前三世紀一直到公元十八世紀期間，近 2000 年的時光過去，整個數學體系已經初具雛形。繼解析幾何和微積分誕生之後，新的數學分支紛紛脫穎而出。無數困難問題得以解決。許多數學家創立了複雜艱深的數學理論。但是人們在看上去極其簡單的第五公設問題面前卻仍然一籌莫展。法國數學家達朗貝爾在1759年無奈宣稱：第五公設問題是「幾何原理中的家醜」。

羅巴切夫斯基對第五公設問題的解決宣告了非歐幾何的誕生

在達朗貝爾之後，無數數學家開始向第五公設發起了衝鋒，試圖將它攻陷。

18世紀初，義大利的薩凱裡提出用歸謬法試圖證明第五公設，薩凱裡從四邊形開始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易證明角C等於角D，這樣第五公設便等價於角C和角D是直角這個論斷。薩凱裡還提出了鈍角和銳角的假設，但是因為與經驗認識違背，薩凱裡最終選擇放棄了最後結論。

瑞士數學家蘭伯特也採用了薩凱裡的求證思路，他也考察了一類四邊形，其中3個角為直角，而第四個角有三種可能性：銳角，直角，鈍角。之後蘭貝特否定了鈍角假設，也沒有輕率地做出銳角假設導致矛盾的結論。

蘭伯特

他在此基礎上進行了大膽的猜想：如果過直線外一點如果沒有直線與之平行或者不止一條直線與之平行的情況下，也許存在可能的幾何學而不產生矛盾。

蘭伯特和薩凱裡都走到了非歐幾何的門檻，尤其薩凱裡提出的對於銳角的假設是成立的，他後來成為了羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）的基礎之一但是因為時代的原因，最終沒有邁過去。

第五公設問題到了高斯手裡，才算取得突破，高斯15歲的時候就饒有興致地思索起了這個困擾了數學界近兩千年的難題。他親自做了實地測量，來討論我們生存的空間是否存在有非歐幾何性質的可能性，從而用新的幾何思想解決第五公設難題。

到1813年，高斯已經形成了一套關於新幾何的思想，他稱之為「反歐幾裡得幾何」後來又改稱「非歐幾裡得幾何」。並且堅信這種新幾何在邏輯上也是相容的，且有廣闊的應用前景。但高斯是個較為保守和謹慎的數學家，也憂心那些頑固分子會對這一發現展開攻擊，所以生前並未公開發表這一成果。

他的行為也打擊到了一位青年數學家波爾約，波爾約和他父親一樣（他父親老波爾約和高斯是同學），醉心於第五公設研究，在研究之中他得出了非歐幾何的基本原理。1823年，這位驕傲自豪的父親將兒子長達26頁的論文《關於一個與歐幾裡得第五公設無關的空間的絕對真實性的學說》滿懷自信地交由自己的老同學高斯審閱。但高斯的回應對父子二人來說猶如晴天霹靂。

高斯表示，自己並不能稱讚，因為稱讚他就等同於稱讚自己，因為這些成果與自己30年前思考的結果相同……然而年輕氣盛的波爾約卻堅信是高斯剽竊了他的成果，這件事沉重打擊了波爾約對數學的熱情，選擇放棄了數學研究。

玻爾約及其遺留手稿

高斯對於研究成果的秘不發表，而波爾約轉而研究神學。第五公設問題到了羅巴切夫斯基手裡才算得到初步解決。

他用了與第五公設相反的斷言：通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行於已知直線，「作為假設，把它與歐氏幾何的其他公設結合其他，然後約定這個斷言為公理，若這個假設與其他公設不相容，則得到了第五公設的證明，並由此出發進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的定理，形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這就是高斯遺稿中所命名的《非歐幾何》。

羅巴切夫斯基公理系統和歐幾裡得公裡系統的不同僅僅在於第五公設，羅巴切夫斯基用「通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行於已知直線」來代替，其他都與歐氏幾何相同，也就是說凡是不涉及到第五公設的幾何命題，歐氏幾何是正確的，在羅氏幾何中也是正確的。而凡是涉及到第五公設的，在羅氏幾何中都有新的具體意義。

黎曼幾何的誕生標誌著非歐幾何的成熟

1854 年，高斯的學生黎曼發表了發表《論作為幾何學基礎的假設》一文，宣告了黎曼幾何的誕生。

黎曼以高斯「過直線外一點，沒有直線與已知直線共面而不相交」為公理去代替歐幾裡得第五公設，從而創立了另一種非歐幾何。

在這種幾何中,歐幾裡得第五公設和直線可以任意延長就被否定了,在這種幾何中,對於每一條直線,都存在一個這條直線能夠延長的最大長度。過給定的兩點,總可以作一條以上直線;三角形內角和大於180度,且超出的量與三角形面積成正比。

非歐幾何與歐幾裡得幾何雖然結果不同，但它們都是無矛盾的幾何學。非歐幾何甚至還可以在歐幾裡得幾何的某些曲面上表現出來。非歐幾何的產生打破了幾何空間的唯一性，反映了空間形式的多樣性。

簡單而言，黎曼提出的全新的幾何思想保留了歐氏幾何學的其他公理與公設，經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系。這種幾何否認「平行線」的存在，是另一種全新的非歐幾何，

自此，非歐幾何裡的兩大支柱羅氏幾何和黎曼幾何就此誕生，而歐幾裡得留下的第五公設難題也被完全解決。

簡單總結來說，歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行」。羅氏幾何講「 過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行」。那麼是否存在這樣的幾何「過直線外一點，不能做直線和已知直線平行」？黎曼幾何就回答了這個問題。

龐加萊構建非歐幾何模型讓非歐幾何得到認可

當時歐氏幾何的權威性讓非歐幾何被數學家接受遇到了很多的阻力，像凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義這點，就讓許多數學家難以接受。

比如數理邏輯的締造者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，為了能夠讓非歐幾何被數學界接受，眾多數學家開始尋找非歐幾何的現實模型（建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯繫的一座必不可少的橋梁）。

因為當時大家都承認歐幾裡得幾何學沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾裡得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾裡得幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾裡得幾何學的公理和定理來解釋，這種解釋也叫做非歐幾何學的歐氏模型。

歐氏幾何

而黎曼幾何的數學模型就相對好找一些，因為黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。

但是羅氏幾何就相對來說比較困難一些。

1868年，義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾裡得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐幾裡得幾何命題，如果歐幾裡得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

1871年，德國數學家克萊因認識到從射影幾何中可以推導度量幾何，並建立了非歐幾何模型。這樣，非歐幾何的相容性問題就歸結為歐氏幾何的相容性問題。

而後來龐加萊構建的非歐幾何模型中過「直線」外一點可以做出無數條與該直線平行的「直線」。其中「直線」指的是過兩點的最短路徑，所以在此模型中「直線」就是連接兩點並且垂直於邊界的圓弧。

還應該注意，在這個模型中三角形的內角和小於180度。

克萊因和龐加萊先後給出了羅氏幾何的數學模式讓大部分數學家接受了非歐幾何學。眾多數學家指出非歐幾何學和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。

非歐幾何的影響與意義

如今，經過百年的發展，非歐幾何已經成為了幾何學中非常重要的組成部分，如果我們需要給它下個定義，那麼非歐幾何是指不同於歐幾裡得幾何學的幾何體系，一般是指羅巴切夫斯基幾何(雙曲幾何)和黎曼的橢圓幾何。它們與歐氏幾何最主要的區別在於公理體系中採用了不同的平行定理。

三者的區別

非歐幾何誕生以後，兩者各行其是，歐氏幾何的幾何結構是平坦的空間結構背景下考察，主要研究平面結構的幾何及立體幾何；而非歐幾何關注彎曲空間下的幾何結構，適用於抽象空間的研究，即更一般的空間形式。

非歐幾何的產生與發展，打破了 2000多年來歐氏幾何一統天下的局面，從根本上革新和拓展了人們對幾何學觀念的認識，它引起了人們對數學本質的深入探討，影響著現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展。

它從根本上改變了人們的幾何觀念，擴大了幾何學的研究對象，使幾何學的研究對象由圖形的性質進入到抽象空間，即更一般的空間形式，使幾何的發展進入了一個以抽象為特徵的嶄新階段。

非歐幾何的誕生過程也促進了一些重要數學分支的產生，如數理邏輯、分析基礎等。同時非歐幾何學的創立為愛因斯坦發展廣義相對論提供了思想基礎和有力工具。

可以說，非歐幾何的誕生是數學發展史上的一次重大革命，它的產生推動了數學的大發展，也促進了數學的大革新。也更加緊密聯繫了數學與物理之間的聯繫。