絕世傳奇——非歐幾何還原為歐氏幾何

2021-01-18 純科學

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科學是一個整體，一些基礎性的學科，應當成為其他很多學科的基礎，也就是這些更為分支的學科規律，要能夠在數學上或邏輯上完全還原為基礎學科的規律。一些規律要還原為更基礎的規律。還原有多種類型，《實驗、測量與科學》一書中主要講述了決定論式還原、回溯式還原和映射式還原。

1.決定論式還原。 通過邏輯演繹，基於公理體系導出所要描述的規律，或以基礎學科規律，通過演繹推導出分支學科規律。這種還原關係也稱為「決定論」式的還原關係。

2.回溯式還原。雖然不能通過決定論式的還原關係進行推導，但新的理論體系可以在極限條件下變成原有的理論體系，這種還原關係可稱為「回溯式」還原關係。例如，相對論和量子力學不能通過牛頓力學推導出來，但它們都會在宏觀低速條件下還原成牛頓力學。

3.映射式還原。如果新的理論，既不能決定論式地推導，也不能回溯，但通過數學建模建立公理體系之間完備的映射關係，從而也可以建立完全不同公理體系之間的還原關係。例如非歐幾何和歐氏幾何的關係。

非歐幾何向歐氏幾何的還原是映射式還原的典型案例。

歐氏幾何第五公理（平行公理）的證明是一個持續了2000年的數學難題，無數的嘗試都失敗了。俄國數學家尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基（Никола йИва новичЛобаче вский）在解決這個難題過程中，創造性地設想出了用反證法來解決這個難題。這種反證法的基本思想是，為證明「第五公理不可證」，首先對第五公理加以否定，然後用這個否定命題和其他公理公設組成新的公理體系，並由此展開邏輯推演。

俄國數學家尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基

假設第五公理是可證的，即第五公理可由其他公理推演出來，那麼，在新公理系統的推演過程中一定會出現邏輯矛盾，至少第五公理和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了「第五公理可證」這一假設，從而也就間接證得「第五公理不可證」。依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公理的等價命題——普列菲爾公理「過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交」做出否定，得到否定命題「過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交」，並用這個否命題和其他公理組成新的公理系統展開邏輯推演。

在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經過仔細審查，卻沒有發現它們之間存在任何邏輯矛盾。於是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個「在結果中並不存在任何矛盾」的新公理系統可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾裡得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公理可證性的反駁，也就是對第五公理不可證性的邏輯證明。

1826年2月23日，羅巴切夫斯基在喀山大學物理數學系學術會議上宣讀了他的第一篇關於非歐幾何的論文——《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇首創性論文的問世，標誌著非歐幾何的誕生。

但是，由於羅巴切夫斯基幾何的命題與常識差異太遠，人們無法理解。因此，不僅它出現後受到冷漠，而且羅巴切夫斯基個人也受到大量批評甚至人身攻擊，其職業生涯也因此受到巨大影響。

德國著名數學家約翰·卡爾·弗裡德裡希·高斯

同時期的大數學家高斯事實上也私下發現了非歐幾何，並對羅巴切夫斯基私下非常讚賞，但卻一直不敢給羅巴切夫斯基公開支持。因此，即使經過了30多年，直到1856年2月12日羅巴切夫斯基逝世，非歐幾何也未得到數學界認可。直到非歐幾何向歐氏幾何的還原工作完成，非歐幾何才得到數學界的理解和認可。

義大利數學家E.貝特拉米

1868年，義大利數學家E.貝特拉米（Eugenio Beltrami，1835.11.16 — 1900.2.18）發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。


有多個將羅巴切夫斯基幾何還原為歐氏幾何的數學建模方法，其中一個如下：

一種極限方法的羅氏幾何還原

先在歐氏平面上設立一個有限的圓，在這個圓中有一直線和直線外一點。那麼，在這個有限的圓形空間內，過該直線外的點可以做無數條直線，使得在該空間內不與原直線相交。而所謂「平行線」的準確數學含義即是「不會相交」。然後將圓的尺寸無限擴大，從極限的意義上理解，也就成為第五公理的羅氏幾何假設。

今天，我們或許會為當年人們沒有立即接受羅巴切夫斯基的非歐幾何學而對其有所批評，但我們不能僅僅如此簡單地、有些馬後炮式地去看待科學發展的歷史。僅僅簡單地指責當時的數學界思想保守和觀念陳舊是沒有用的，如果我們自己身處當時的歷史條件下能做得更好嗎？連大數學家高斯在已經獨立做出非歐幾何發現之後，也不敢公開支持羅巴切夫斯基的發現，以「膽量」和「勇氣」不夠對其評價是過於簡單的。

羅巴切夫斯基幾何現在廣為接受的還原方法，是義大利數學家貝特拉米把羅氏幾何空間還原為歐氏幾何的馬鞍形空間。而把黎曼幾何空間還原為歐氏幾何立體的橢圓球面空間，也有效還原了黎曼幾何。

「科學是一個相互還原的整體，知識不能自成體系」，非歐幾何還原為歐式幾何的經典案例有力地證明了科學作為一個整體是如何進步的！


獨立學者

人類第三次科學革命倡導者，純科學理論體系創始人

雲鋁股份（000807）獨立董事

浙江宇視科技 顧問

上海析易船舶 聯合創始人

中央民族大學中俄能源研究院 客座教授

中關村長風聯盟 國際化導師

中國農投會、中關村京港澳青年創新中心等創業導師

曾為中興通訊（000063）國際市場管理體系的奠基人

 

著 作：

《通播網宣言》

《生態社會人口論》

《超越戰爭論——戰爭與和平的數學原理》

《實驗、測量與科學》

《即將來臨的糧食世界大戰》（即將出版）

《純電動：一統天下》（即將重新出版）

《科學經濟學——看見看不見的手》（即將出版） 


相關焦點

  • 絕世傳奇,怪誕的非歐幾何
    這「虛幾何學」就是非歐幾何，這一天後來被公認為非歐幾何的誕生之日。在推演過程中，羅巴切夫斯基得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。這些命題和我們所習慣的直觀有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐氏幾何那樣容易被接受。例如三角形的內角和小於180度。凡是涉及平行公理的結論，羅氏幾何的結論都是不成立的。
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    歐幾裡得的《幾何原本》至今仍然是中學平面兒何的基石。《幾何原本》共13卷,第一卷上有35條定義、5條公理和5條公設。這些公理和公設是全書的基石,其他的命題和定理都是這些定義、公理和公設的邏輯推理在五條公設中,前四條都容易驗證如兩點之間可以連一直線。
  • 從歐式幾何到非歐幾何
    而《幾何原本》中的命題不僅僅只有上述五種那麼簡單，這部跨時代的著作共有465個命題之多，講述的多為平面幾何，也涉及一些立體幾何，歐幾裡得也被稱為完美運用公理化方法的第一人。在數學領域的幾何界，歐幾裡得的幾何學一直都是獨佔鰲頭，很少有數學研究者對歐式幾何進行修改和完善，直至非歐幾裡得幾何的出現打破了這一切。
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    歐氏幾何歐幾裡得幾何簡稱「歐氏幾何」，是幾何學的一門分科。數學上，歐幾裡得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，它就是建立在五條一般性的公理和五條幾何學公理之上的。羅巴切夫斯基和黎曼由於對幾何學中的第五公理進行了修改，各自推導形成邏輯自洽的知識體系，由於得出的很多結論都不符合歐氏幾何，因此它們被統稱為非歐幾何。非歐幾何·羅氏幾何假定過直線外一個點，能夠做該直線的任意多個平行線。
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    哲學家伊曼紐爾·康德（Immanuel Kant）說，空間的概念先驗存在於思想之中：當我們進行幾何構建時，重要的不是我們畫在紙上的形狀，而是我們在心理空間中看待它們的方式。我們在我們的心理空間中命令我們的感知，並且其屬性對於所有人類都是相同的。康德的空間觀是歐幾裡得式的。常人很難想像非歐幾何空間的觀念，或許這也就是非歐幾何空間可能看起來不像歐式幾何空間那樣「真」的原因。
  • 教科書級別的數學益智遊戲,《歐氏幾何》讓你不想停下學習的腳步!
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  • 淺談非歐體系的幾何發展歷程
    這只在歐式幾何中成立，在不同的體系下，平行線有可能相交。首先講一下最傳統的歐式幾何，即平面幾何。歐式幾何起源於公元前3世紀，由歐幾裡得發表《幾何原本》是歐式幾何誕生的標誌，傳說他是看到牆角的蜘蛛沿著蜘蛛網爬行，聯想到3維空間裡用3個坐標軸表示一個點。歐幾裡得在其中提出5條公理，即：1、任意兩個點可以通過一條直線連接。2、任意線段能無限延長成一條直線。
  • 複平面與非歐幾何
    黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。這個非歐幾何的規定，沒有點想像力，的確很難理解。我們先嘗試用複平面來理解。如封面的圖，從北極連接到球面上的一點總是可以投影到複平面上的一點。
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    幾何學包羅萬象，分支眾多，其分類其實並不是絕對的，我們從幾何學的發展大致可以將它分為歐氏幾何與非歐幾何，非歐幾何又分為羅氏幾何和黎曼幾何、仿影幾何和拓撲幾何等．歐氏幾何歐氏幾何開始研究的是直線和二次曲線（圓錐曲線：橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（長度、面積、角度等），當然平面幾何自然的過渡到三維空間的立體幾何，為了計算面積和體積問題，人們已經開始涉及微積分的概念．笛卡爾引入坐標系之後，代數與幾何的關係變得明朗，且日益緊密，這就促使了解析幾何的產生，從解析幾何的角度出發
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