平行線永不相交是大家一直熟知的定理，但你知道嗎？這只在歐式幾何中成立，在不同的體系下，平行線有可能相交。
首先講一下最傳統的歐式幾何，即平面幾何。歐式幾何起源於公元前3世紀，由歐幾裡得發表《幾何原本》是歐式幾何誕生的標誌，傳說他是看到牆角的蜘蛛沿著蜘蛛網爬行，聯想到3維空間裡用3個坐標軸表示一個點。歐幾裡得在其中提出5條公理，即：
1、任意兩個點可以通過一條直線連接。
2、任意線段能無限延長成一條直線。
3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4、所有直角都全等。
5、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。
這裡需要講一下「公理」與「定理」的區別：「公理」是不需要證明，具有自明性的，而「定理」必須要通過「公理」或者別的「定理」來證明。
歐幾裡得就是通過這5條公理，有條不紊地由簡單到複雜證明了一系列命題，其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止。但是有人仔細研究了歐幾裡得對其他定理地證明，發現整本書中僅在第29個命題才用到一次，於是一些數學家提出：能否把第5條公理改成定理，並通過其他公理證明出來？這就是幾何歷史上最著名，爭論了長達2000多年的對「平行線理論」的討論。
此時俄國教授羅巴切夫斯基想到了反證法，歐幾裡得的第5條公理認為「過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行」，羅巴切夫斯基將其改為「過直線外一點，至少有兩條直線與已知直線平行」。他認為改掉這條公理之後，將會得出自相矛盾的說法，以此證明歐式幾何的正確性。然而在他深入研究之後，卻得出了一個匪夷所思但卻毫無矛盾的命題，最後他得出結論：歐氏幾何第五條公理無法被證明。在他的新公理之下，逐漸發展出一套全新理論——羅氏幾何。羅氏幾何的創新型在於平面不再是平的，而是彎曲的，因此也成為雙曲幾何。這也是平時經常聽到的「曲面上三角形內角和不是180度」的來源，即三角形內角和公式：三角形內角和等於π減去高斯曲率K在三角形所圍曲面上的積分(單位rad)。
就在人們以為幾何體系已經完善時，又有一位天才數學家想到了一個更加荒唐的想法：把歐氏幾何第5條公理改成：過直線外一點無法做出已知直線的平行線。即不承認平行線的存在，這就是著名的「黎曼幾何」，又稱「橢圓幾何」。經過研究，發現球面恰好可以滿足這種幾何關係。以地球為例，地球的經度線就是平行線，但它們都相交於南北極。
至此，三大幾何體系地位就此確定。三大幾何體系各有區別，但又各形成一套嚴密公理體系。在日常生活中，歐氏幾何為主題，在宇宙空間中，羅氏幾何更有說服力，而以地球為主的航海等活動，黎曼幾何是主角。
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