代數、幾何曾是數學的兩大分支，研究數的部分是代數學的範疇，研究形的部分，自然是屬於幾何學的範疇。再要深究，還有聯結形與數且涉及極限的部分，這就是分析學，這三大類是整個數學的核心。
代數很好理解，數學，顧名思義，自然與數是息息相關的。那麼，幾何呢？有著怎麼樣的歷史呢？又有哪些分類呢？
約在公元前4世紀左右，歐幾裡得——古希臘偉大的數學家，就著手處理一些人們公認的一些幾何知識，並在基礎上研究了圖形的性質，推導演繹出了若干定理，寫了《幾何原本》，這就是所謂的歐氏幾何。
歐式幾何五公設和五定理，大多數人都有所耳聞。先解釋一下公設和定理的概念。
所謂公理或公設，就是「不證自明」的命題，是一個演繹系統中，不需要證明而必須加以承認的某些陳述或命題。公理或是公設是一門學科中的基礎，必須依賴於它，學科大樓才能拔地而起。
而定理相較於公設就要弱一些，只是已經證明了的具有正確性、可以作為原則或規律的命題或公式，比如幾何定理。
《幾何原本》中的5公設：
1. 由任意一點到任意一點可作直線。
2. 一條有限直線可以繼續延長。
3. 以任意點為心及任意的距離可以畫圓。
4. 凡直角都相等。
5．若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
五公設推出五條定理，五定理表述更加簡單明了，分別是「等於同量的量彼此相等」、「等量加等量，其和仍相等」、「等量減等量，其差仍相等」、「彼此能夠重合的物體是全等的」、「整體大於部分」。
在這五條公設中，前四條是簡單明了，第五條就顯得囉嗦了不少，結論也沒那麼顯然易見。細心的學者發現，在《幾何原本》中，歐幾裡得直到第二十九條命題才使用第五公設，也就是說，不依靠第五公設就已經能推出前二十八個命題了。而且二十九命題之後也沒使用過第五公設。如此看來，將其置於公設的位置未免有些浪費，能不能降個檔次，作為定理使用呢？
這就是幾何史上著名的「平行線理論」，這一爭議持續了很久，長達兩千多年，並引出了非歐幾何學這一門分支。顧名思義，非歐幾何自然指的是一切和歐幾裡得幾何不同的幾何學，通常意義下，指的是羅氏幾何和黎曼幾何這兩種。狹義意義下，非歐幾何即羅氏幾何。
羅氏指的是俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基，對於頗具爭議的第五公設，他興趣很濃，一直想給出合理的證明，他另闢蹊徑，選擇了另一條路子，利用了反證法的思想去證明：先是提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題，用其代替第五公設，和前四個公設一起成為一個新的公理系統，並進行了一系列的推理。如果證明過程中出現了矛盾，那就說明第五條公設是正確的。
思路是正確的，嚴謹細緻的羅巴切夫斯基開始了一個又一個的推理，得出了一個又一個命題，這些命題中有的令人匪夷所思，有的較容易理解，最後，羅巴切夫斯基得出了結論：第五公設無法被證明。
看似所有的付出如一江春水逝去，斷了頭緒，然而並非如此，收貨了新的理論幾何學——羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。
非歐幾何像歐式幾何一樣，是完善的、嚴密的幾何學。無獨有偶，就在羅氏幾何被創立的同一時期，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設是不可證明，以及「非歐幾何學」的存在。
雖然現在在我們看來，非歐幾何一個新興理論的出現是件讓人興奮的事情，然而，當時，鮑耶·雅諾什的處境並不樂觀。不僅社會上一片冷言冷語，家裡人也不支持他，即使是同樣身為數學家的父親——鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設完全是耗費精力，勞而無功的事情。看到自己的研究成果不受重視，就連父親也強力勸他放棄研究，鮑耶·雅諾什沒有說什麼，仍然堅持著自己的理想，為發展新的幾何學而繼續工作，一刻也沒有放棄對學說的追求。功夫不負有心人，1832年，鮑耶·雅諾什的研究結果終於得以面世，但是仍不被尊重，只是發表在他父親的一本著作的附錄裡。
這是不僅是鮑耶的悲哀，也是時代的悲哀，大背景使然，「數學王子」高斯也免不了俗，即使他也發現了第五公設的秘密，並且開始研究非歐幾何，但是懼於當時教會力量的迫害，他都不敢公開發表自己的研究成果，更別提站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶。
1854年，德國數學家黎曼又提出一種新幾何學，被稱為黎曼幾何，這也是非歐幾何中的一種。羅氏幾何和黎曼幾何的區別就是三角形內角和比180度大還是小：在羅巴切夫斯基幾何中，三角形的內角之和小於180度。而在黎曼幾何中，則不能作直線與已知直線平行，三角形的內角之和，且通過直線外一點能夠引至少兩條直線與已知直線平行，而在黎曼幾何中，三角形的內角之和大於180度，並且不能作直線與已知直線平行。
也怨不得大家不承認非歐幾何，相較於中規中矩的歐式幾何，非歐幾何要顯得詭異的多。
比如歐式幾何中，同一直線的垂線和斜線是相交的，想想顯然成立，然而羅氏幾何卻說同一直線的垂線和斜線不一定相交。歐式幾何說「垂直於同一直線的兩條直線平行」也是顯然可見，然而羅氏幾個卻唱反調「垂直於同一直線的兩條直線，兩端無限延長，離散到無窮會相交」，相同的例子還有很多很多。
那麼，該怎麼去理解非歐幾何中這些匪夷所思的說法呢？其實，歐式幾何、非歐幾何在幾何學裡的地位類似於牛頓的經典力學和相對論在物理中的地位，成立所需的約束條件是不同的。深究起來，兩者的聯繫不僅是類似，經典力學中的絕對時空觀正好對應了歐式幾何學的平整不變空間，非歐幾何中的空間則是相對變化的，平整空間變成彎曲的，這就正好對應著愛因斯坦所提出的引力扭曲空間的論斷。
非歐幾何和相對論極好的貼合，讓愛因斯坦欣喜，1915年，他引用黎曼幾何來描述他的廣義相對論空間，獲得巨大成功，他還證明了非歐空間是物質運動的一種存在形式。歷史終究是公平的，非歐幾何最終還是得到的應有的重視。
其實，想要理解非歐幾何，可以用個簡單的地球儀模型，找到0度和隨意一根經線，再找到一根緯線，三線維出的三角形，內角和一定大於180度吧？
至於平行線必相交，也很好理解：地球上赤道處的經度線，在赤道處是平行的，在兩極卻是相交的。
本作品為科普中國-科技創新裡程碑原創 轉載時務請註明出處
（作者：科普中國責任編輯：天極科普君）
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