數學概覽XIX 非歐幾何並不神秘!(一)

非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來說，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾裡得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是就羅氏幾何來說的，至於通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎氏幾何這兩種幾何。

羅氏幾何學的公理系統和歐氏幾何學不同的地方僅僅是把歐氏平行公理用「從直線外一點，至少可以作兩條直線和這條直線平行」來代替，其他公理絕大部分相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐幾裡得幾何內容不同的新的幾何命題。兩條直線或者相交或者平行。如果平行，它們在一側漸近地逼近，而在另一側則無限地分離。

同一直線的兩條垂線，它們是離散的。

三角形兩邊中點的連線常和底邊是離散的。

三角形各內角之和總小於兩個直角，而且不同的三角形有不同的內角和。

任何凸四邊形的內角和小於四個直角，因此，不存在矩形。

三角形面積和兩直角跟它的內角和的差成正比。如果以S（△）表示三角形的面積，以a、b、c分別表示三角形的三個內角，那麼S（△）=K（Π-a-b-c）。

這裡，Π-a-b-c叫做「虧損」。可以看到，三角形內角和對x的虧損因它的面積增大而增大。

另一方面，我們知道，羅氏幾何除了一個平行公理之外採用了歐氏幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐氏幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐氏幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，它們都相應地含有新的意義。

羅氏幾何中的一些幾何事實沒有象歐氏幾何那樣容易被人們接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐氏幾何中的事實作一個直觀「模型」來解釋羅氏幾何是正確的。