2000多年前的歐幾裡得大師，憑藉五條最最基礎的公理，經過一系列嚴謹的邏輯推演證明，最終得出了博大精深的幾何世界。歐幾裡得第一次用幾何的語言來描述我們的世界，也讓人第一次見識到了邏輯證明的魅力。
在這5條公理裡有4條是非常顯而易見的，除了第5條看起來不像是一個很基礎的概念以外。第5條公理，我們又叫做平行公理。
「同一平面內的兩條直線與第三條直線相交，若其中一側的兩個內角之和小於二直角，則該兩直線必在這一側相交。」
這看起來就不像是一個簡單的公理，仿佛可以由另外4條公理推導而來。歷史上很多著名的幾何學家都幹過這事，不過，從來都沒有成功過。
於是人們開始領悟到，也許這第5公理，只是在歐式幾何世界裡的一個特性，並不是幾何學的全貌。如果我們創建一個別的第5公理，也許就可以推演出一門全新的幾何學，也就是非歐幾何學。
在非歐幾何學的創建上，德國的高斯，俄國的羅巴切夫斯基、匈牙利數學家波爾約最先意識到，第5公理是可以被替代的。1830年，羅巴切夫斯基用羅氏平行公理替代了歐式幾何學中的平行公理，創立了第一個非歐幾何學——羅巴切夫斯基幾何。在這門幾何學裡有個基礎前提，「即在一個平面上，過已知直線外一點至少有兩條直線與該直線不相交。」而在歐式幾何學裡，就只能作出一條滿足條件的直線來。非歐幾何學一出，人們也意識到，我們身邊熟悉的形狀，輪廓並不是整個世界全部的面貌。這個世界仍然充滿著未知的神奇。
1854年，黎曼大神又提出了一種新的幾何學，在黎曼幾何裡，他用這條一條奇怪的公理來替代了平行公理，「平面上兩條直線一定相交。」黎曼幾何在剛剛提出的時候並沒有引起什麼太大的波瀾，人們只是認為這是一種構造神奇的特別空間而已。
直到1916年，愛因斯坦廣義相對論的提出，愛因斯坦放棄了時空是均勻的這個人盡皆知的前提，整個時空只在小部分裡保持均勻。這一點剛好和黎曼幾何的意義相當符合，由此黎曼幾何也成了廣義相對論的數學基礎，經受住了一次次嚴苛實驗的考驗。
非歐幾何是從歐式幾何學的漏洞裡艱難涅槃而出的，但是一旦掙脫出來就會綻放出巨大的光芒。我們所見的世界絕對不是整個世界的全部，這個世界比我們想像中要更大更精彩。
另外，數學工具就像是戰爭時期的糧草一樣，所謂「三軍未動，糧草先行。」黎曼當年提出黎曼幾何的時候，是絕對不會想到自己的理論在60年以後會給人類最偉大的理論提供數學加持。
總之，數學永遠走在那些需要它們的理論定律前面。