喻德生
南昌航空大學數學與信息科學學院教授。主要從事幾何學、計算機輔助幾何設計和數學教育等方面的研究。參與國家自然科學基金課題3項，主持或參與省部級教學科研課題12項、廳局級教學科研課題16項。在國內外學術刊物發表論文60餘篇，撰寫《平面有向幾何學》等專著6部，主編出版教材12種。
「有向」是自然科學中的一個十分重要而又應用非常廣泛的概念。我們經常遇到的有向數學模型無外乎如下兩類：
一是「泛物」的有向性。如微積分學中的左右極限、左右連續、左右導數等用到的量的有向性，定積分中用到的線段（即區間）的有向性，對坐標的曲線積分用到的曲線的有向性，對坐標的曲面積分用到的曲面的有向性等，這些都是有向性的例子。儘管這裡的問題很不相同，但是它們都只有正、負兩個方向，因此稱為「泛物」的有向性。然而，這裡的有向性沒有可加性，不便運算。
二是「泛向」的有向量，亦即我們在數學與物理中廣泛使用的向量。我們知道，這裡的向量有無窮多個方向，而且兩個方向不同的向量相加通常得到一個方向不同的向量。因此，我們稱為「泛向」的有向量。這種「泛向」的有向數學模型，對於我們來說方向太多，不便應用。
然而，正是由於「泛向」有向量的可加性與「泛物」有向性的二值性，啟示我們研究一種既有二值有向性、又有可加性的幾何量。一維空間的有向距離，二維空間的有向面積，三維空間、乃至一般的N維空間的有向體積等都是這種幾何量的例子。一般地，我們把帶有方向的度量稱為有向度量。
「有向度量」並不是數學中一個全新的概念，各種有向度量的概念散見於一些數學文獻中。但是，有向度量的概念並未發展成為數學中的一個重要概念。有向度量的應用僅僅局限於其「有向性」，而極少觸及其「可加性」。要使有向度量的概念變得更加有用，要發現各種有向度量的規律性，使有向度量的知識系統化，就必須對有向度量進行深入的研究，創立一門獨立的幾何學——有向幾何學。為此，必須明確有向幾何學的研究對象，確立有向幾何學的研究方法，構建有向幾何學的知識體系。
就我們所知，著名數學家希爾伯特在他的數學名著《直觀幾何》中，利用三角形的有向面積證明了一個簡單的幾何問題，這是歷史上較早的使用有向面積證題的例子。上世紀五六十年代，著名數學家Wilhelm Blaschke在他的《 圓與球》中，利用有向面積深入地討論了圓的極小性問題，這是歷史上比較系統地使用有向面積方法解決問題的例子。但是，有向面積法並未發展成一種普遍使用、而又十分有效的方法。
二十世紀八、九十年代，我國著名數學家吳文俊、張景中院士，開創了數學機械化的研究，而計算機中使用的距離和面積都是有向的，因此數學機械化的研究拓廣了有向距離和有向面積應用的範圍。特別是張景中院士十分注重面積關係在數學機器證明中的作用，指出面積關係是「數學中的一個重要關係」，並利用面積關係創立了一種可讀的數學機器證明方法——即所謂的消點法，也稱為面積法。
近年來，我們在分析與借鑑上述兩種思想方法的基礎上，發展了一種研究有向幾何問題的方法，即所謂的有向度量定值法。除上述提到的兩個原因外，我們也受到如下兩種數學思想方法的影響。
一是數學建模的思想方法。我們知道，一個數學模型通常不是一個簡單的數學結論。它往往包含一個或多個參數，只要給定參數的一個值，就可以得出一個相應的結論。這與經典幾何學中一個一個的、較少體現知識之間聯繫的結論形成了鮮明的對照。因此，我們自然會問，幾何學中能建立涵蓋面如此廣泛的結論嗎？這樣，尋找幾何學中聯繫不同結論的參數，進行幾何學中的數學建模，就成為我們研究有向幾何問題的一個重點。
二是函數論中的連續與不動點的思想方法。我們知道，經典幾何學中的結論通常是離散的，一個結論就要給出一個證明，比較麻煩。我們能否引進一個連續變化的量，使得對於變量的每一個值，某個幾何量或某幾個幾何量之間的關係始終是不變的？這樣，構造幾何量之間的定值模型就成為我們研究有向幾何問題的一個突破口。
儘管幾何定值問題的研究較早，一些方面的研究也比較深入，但有向度量定值問題的研究尚處於起步階段。近年來，我們研究了有向距離、有向面積定值的一些問題，得到了一些比較好的結果，並揭示了這些結果與一些著名的幾何結論之間的聯繫。
不僅使很多著名的幾何定理——Euler定理、Pappus定理、Pappus formula、蝴蝶定理、Servois定理、中線定理、Harcourt定理、Carnot 定理、Brahmagupta定理、切線與輔助圓定理、Anthemius定理、焦點和切線的Apollonius定理、Zerr定理、配極定理、Salmon定理、二次曲線的Pappus定理、兩直線上的Pappus定理、Desarques定理、Ceva定理、等截共軛點定理、共軛直徑的Apollonius定理、正弦及餘弦差角公式、Weitzentock不等式、麥比烏斯定理、Monge公式、Gauss五邊形公式、Erdos-Mordell不等式、Gauss定理、Gergonne定理、梯形的施泰納定理、拿破崙三角形定理、Cesaro定理、三角形的中垂線定理、Simson定理、三角形的共點線定理、完全四邊形的Simson線定理、高線定理、Neuberg定理、共點線的施泰納定理、Zvonko Cerin’s定理、雙重透視定理、三重透視定理、Pappus重心定理、角平分線定理、Menelans定理、Newton定理、Brianchon定理等結論和一大批數學競賽題在有向度量的思想方法下得到了推廣或證明，而且揭示了這些經典結論之間、有向度量與這些經典結論之間的內在聯繫。顯示出有向面積定值法的新穎性、綜合性、有效性和簡潔性。特別是在三角形、四邊形和二次曲線外切多邊形中有向面積定值問題的研究，涵蓋面廣、內容豐富、結論優美，並引起了國內外數學界的關注。
打個比方說，如果我們把經典的幾何定理看成是一顆顆的珍珠，那麼幾何有向度量的定值定理就象一條條的項鍊，把一些看似沒有聯繫的若干幾何定理串連起來，形成一個完美的整體。因此，幾何有向度量的定值定理更能體現事物之間的聯繫，揭示事物的本質。
在這些研究的基礎上，我們廣泛借鑑前人的一些有關結果，2014年在科學出版社出版了《平面有向幾何學》首部論著。之後，創造性地、廣泛地運用有向面積法和有向面積定值法，對平面有關問題進行研究，得到了一系列有關兩點間有向距離、點到直線間有向距離的定值定理,有關三角形、多邊形和多角形有向面積的定值定理，推出了《有向幾何學：有向距離及其應用》（2016）、《有向幾何學：有向面積及其應用（上）》（2017）《有向幾何學：有向面積及其應用（下）》（2018）。我們又將平面有向幾何學的思想方法，應用於空間有關問題的研究，亦得到了一些比較好的結果，出版專著:《空間有向幾何學（上）》（2019）、《空間有向幾何學（下）》（2020）。
這對開拓數學研究的領域，揭示事物之間本質的聯繫，探索數學研究的新思想、新方法具有重要的理論意義；對豐富幾何學各學科、以及相關數學學科，特別是數學分析、高等數學等學科的教學內容，促進高等學校數學教學內容改革的發展具有重要的現實意義；此外，有向幾何學的研究成果和研究方法，對數學定理的機械化證明也具有重要的應用和參考價值。
本文整理自《空間有向幾何學（上）》（2019）、《空間有向幾何學（下）》（2020）等著作「前言」，有刪減，標題為編者所加。
（本文編輯：劉四旦）
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