幾何學遠不止歐幾裡得這麼簡單,非歐幾何才是現代幾何學的重點!

2020-11-30 學霸數學

幾何學包羅萬象，分支眾多，其分類其實並不是絕對的，我們從幾何學的發展大致可以將它分為歐氏幾何與非歐幾何，非歐幾何又分為羅氏幾何和黎曼幾何、仿影幾何和拓撲幾何等．

歐氏幾何

歐氏幾何開始研究的是直線和二次曲線（圓錐曲線：橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（長度、面積、角度等），當然平面幾何自然的過渡到三維空間的立體幾何，為了計算面積和體積問題，人們已經開始涉及微積分的概念．笛卡爾引入坐標系之後，代數與幾何的關係變得明朗，且日益緊密，這就促使了解析幾何的產生，從解析幾何的角度出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質．總體來講，歐氏幾何的幾何結構是平坦的空間結構背景下考察，沒有真正關注彎曲空間下的幾何結構．歐幾裡得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設引起了眾多數學家對它的質疑．由此，人們開始關注彎曲空間的幾何即非歐幾何．

非歐幾何

非歐幾何的分類主要分為羅氏幾何和黎曼幾何．歐氏幾何的第五條公設：若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。 也叫平行公理，也可以簡單的說：過直線外一點有且只有唯一一條直線與已知直線平行，這是歐氏幾何的理論基礎．

羅氏幾何也稱雙曲幾何是俄國數學家羅巴切夫斯基創立並發展的，它是獨立於歐氏幾何的公理系統，歐氏幾何的第五公設被替代為＂雙曲平行公理＂：過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行．在這種公理體系中，通過演繹推理可以證明一系列與歐氏幾何完全不同的命題，例如三角形的內角和小於180度．凡是涉及平行公理的結論，羅氏幾何的結論都是不成立的．

黎曼幾何：由德國數學家黎曼創立，也稱橢圓幾何，在這套公理體系下，並不承認平行線的存在，任何一個平面內兩條直線一定有交點，認為平面內的直線可以無限延長，但總的長度是有限的，黎曼幾何的模型我們可以看作一個經過改進的球面．隨著黎曼幾何的發展，發展出許多的數學分支，（代數拓撲學、偏微分方程、多複變函數理論等）成為微分幾何的基礎，甚至成為廣義相對論理論基礎．

射影幾何

與此同時，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點引入觀察範圍，人們開始考慮射影幾何．它研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換後，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科．也叫投影幾何學．射影幾何在航空、測量繪圖、攝影等方面有廣泛的應用．而作為射影幾何的子幾何仿影幾何又獨立發展．

拓撲幾何

拓撲學是確定幾何圖形或空間在改變開關後還能保持不變的一些性質的學科．它只考慮物體間的位置關係而不考慮形狀和大小，其中重要的性質包括連通性與緊緻性．它的發展促進了很多分支的進步，例如微分拓撲學、幾何拓撲、代數拓撲等．

其實要將幾何學嚴格的分類出來非常困難，很多幾何學分支獨立發展但又與其它分支緊密聯繫．例如歐氏幾何發展下的解析幾何直接促進了微積分的產生和發展，在研究彎曲空間的度量需要用微積分的方法去局部分析空間彎曲的性質，這樣就促進了古典微分幾何的發展，它又是黎曼幾何的基礎．而現代微分幾何開始研究更一般的空間：流形，它同時又與拓撲學緊密聯繫，幾何學各分支獨立發展又相互促進．隨著幾何學的發展，這種聯繫只會越來越緊密，要分類更加困難．

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相關焦點

  • 非歐幾何學是怎麼從歐式幾何學的夾縫中誕生的?
    這看起來就不像是一個簡單的公理，仿佛可以由另外4條公理推導而來。歷史上很多著名的幾何學家都幹過這事，不過，從來都沒有成功過。於是人們開始領悟到，也許這第5公理，只是在歐式幾何世界裡的一個特性，並不是幾何學的全貌。如果我們創建一個別的第5公理，也許就可以推演出一門全新的幾何學，也就是非歐幾何學。
  • 現代數學之幾何學的變革
    非歐幾何學的誕生非歐幾何學分別由三位數學家獨立地使用類似的方法，從普萊費爾公理出發，最終創立非歐幾何。他們分別是大名鼎鼎的高斯、匈牙利的J.鮑耶和俄國的羅巴切夫斯基。只是高斯生前沒有公開發表過自己在這方面的研究，他將這一新的幾何學命名為「非歐幾何學」。高斯年輕時在數論領域的貢獻，之後人生各階段，在數學的多個領域都有開創性的工作。
  • 非歐幾裡得幾何學的重要性
    據說，在 19 世紀所有複雜的技術創造中間，最深刻的一個，非歐幾裡得幾何學，在技術上是最簡單的。非歐幾裡得幾何是在歐幾裡得幾何領域中一系列長期努力所達到的頂點。這個工作到 19 世紀早期就成熟了，正是射影幾何也在恢復和發展的同一年代，然而這兩個領域在當時彼此並無關聯。
  • 19世紀幾何學的革命,非歐幾何如何塑造了哲學、科學、文化和藝術
    亨利·龐加萊（HenriPoincaré）把非歐幾何視為革命性的，但他不同意康德和赫姆霍茲。如果按照赫姆霍茲認為的，幾何學是來源於經驗，那麼幾何將不再是一門科學。而且，龐加萊意識到在我們的思想中可以存在不止一種空間。因此，幾何學公設並不是一種「先驗綜合判斷（康德所說）」，它們不是「經驗的事實（赫姆霍茲所說）」，它們甚至不是必然成立的不證自明的真理（如更早的哲學家笛卡爾和拉格朗日認為的）。
  • 非歐幾何的創始人——歐幾裡得
    歐幾裡得的《幾何原本》至今仍然是中學平面兒何的基石。《幾何原本》共13卷,第一卷上有35條定義、5條公理和5條公設。這些公理和公設是全書的基石,其他的命題和定理都是這些定義、公理和公設的邏輯推理在五條公設中,前四條都容易驗證如兩點之間可以連一直線。
  • 並不神秘的非歐幾何,它究竟講的是什麼?五分鐘帶你搞懂
    它於公元前三世紀由古希臘數學家歐幾裡得完成,歐洲數學2000年發展史，幾乎有四分之三的時間裡歐氏幾何一統天下，對科學和哲學的影響極其深遠。直到魏爾斯特拉斯發起的分析算術化運動使代數從歐氏幾何中完全脫離以及非歐幾何的誕生才結束了歐氏幾何的統治地位。其中，非歐幾何的誕生影響著現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展，今天我們就來談一下非歐幾何與發展。
  • 著寫流傳2300年數學經典,被世人稱為「幾何學之父」——歐幾裡得
    歐幾裡得，有時被稱為亞歷山大裡亞的歐幾裡得，以便區別於墨伽拉的歐幾裡得，希臘化時代的數學家，被稱為「幾何學之父」。他活躍於託勒密一世時期的亞歷山大裡亞，也是亞歷山太學派的成員。他在著作《幾何原本》中提出五大公設，成為歐洲數學的基礎。歐幾裡得也寫過一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾裡得幾何被廣泛地認為是數學領域的經典之作。
  • 絕世傳奇,怪誕的非歐幾何
    第五條公理又稱平行公理（Parallel Postulate），簡單來說就是：過直線外一點有且只有唯一一條直線與已知直線平行，這是歐氏幾何的理論基礎。被歐幾裡得認為是理所當然、無需證明的，是他整個幾何學的基礎理論。那麼實際情形是不是真的這樣呢？前面四個公設大家都沒有什麼意見，它們都簡單明了、一目了然、令人信服。
  • 著寫最早幾何學集大成之作,歐幾裡得曾是怎樣影響世界的?
    幾何學是數學中一個基礎分支，應用於人類許多領域。我們需要用幾何學來測量東西、理解形狀，並對我們所居住的這個空間進行度量。但是幾何學並不僅限於此：它與人類思想和生活的各個方面都相互作用，許多文化中都有它的發展。首先，讓我們看下被稱為「幾何之父」的人：古希臘數學家歐幾裡得（Euclid）。歐幾裡得的工作是我們擁有一種對於幾何的系統性方法的最早例子。
  • 從歐式幾何到非歐幾何
    數學研究的對象大體兩項--「數」和「形」，「數」的概念我們可以從字體表面了解，而「形」就是形狀圖形的總稱，簡單的說就是數學中的幾何，對於幾何學者來說：「點，線，角，面」都是基礎。這次的話題我們談論的是幾何，當然與幾何學上一個很重要的人物有關，沒錯，他就是歐幾裡得，歐幾裡得有一本很重要的著作，相信很多人沒有看過也有聽過，這就是《幾何原本》。
  • 「幾何學中的哥白尼」:數學成果被質疑,卻在離世12年後成為經典
    曾經有這麼一位偉大的數學家，重大成果好不容易公布於眾，卻因為顛覆經典，遭到正統數學家的冷漠和反對。不僅如此，他因為堅持自己的數學理論，失去了大學校長的職務。這位備受委屈的數學家，就是非歐幾何的早期發現人之一，羅巴切夫斯基。
  • 歐幾裡得掀起2000年數學風波,被黎曼撲滅,還促成了相對論的誕生
    他用了與第五公設相反的斷言：通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行於已知直線，「作為假設，把它與歐氏幾何的其他公設結合其他，然後約定這個斷言為公理，若這個假設與其他公設不相容，則得到了第五公設的證明，並由此出發進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的定理，形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這就是高斯遺稿中所命名的《非歐幾何》。
  • 射影定理創始人,幾何學之父是何人物?
    你 牛頓增說過：幾何學的簡潔美卻又正是幾何學之所以完美的核心存在。幾何是我們們解決問題更加立體化，可以更直觀地看出問題的的本質所在。幾何還賦予人們更多的創造力，創造出更加美觀的建築，機器，圖像等。那麼幾何學和射影定理的先驅又是誰呢？讓我們一起了解一下吧！對射影定理有更加深如的了解就知道其又稱「歐幾裡得定理」，因此公認的幾何之父就是歐幾裡得了。
  • 幾何學有8大分支:歐氏幾何2000餘歲,分形幾何不足100歲
    但是，幾何家族在近現代的發展迅速，不同的幾何學科出現在了數學家的視野裡。歐氏幾何歐幾裡得在前人工作成果的基礎上，把零散的成果系統成書：《幾何原本》。具有裡程碑意義的《幾何原本》從一系列定義、公設和共同概念開始，把幾何體系嚴謹地建立起來。這種公理化地思路對數學的發展意義重大。
  • 絕世傳奇——非歐幾何還原為歐氏幾何
    例如非歐幾何和歐氏幾何的關係。非歐幾何向歐氏幾何的還原是映射式還原的典型案例。歐氏幾何第五公理（平行公理）的證明是一個持續了2000年的數學難題，無數的嘗試都失敗了。於是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個「在結果中並不存在任何矛盾」的新公理系統可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾裡得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公理可證性的反駁，也就是對第五公理不可證性的邏輯證明。1826年2月23日，羅巴切夫斯基在喀山大學物理數學系學術會議上宣讀了他的第一篇關於非歐幾何的論文——《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。
  • 陳省身:什麼是幾何學
    大家希望我講一點幾何學，題目是《什麼是幾何學》。我雖然搞了幾十年的幾何工作，但是很抱歉的一點是，當你們聽完演講後，不會得到很簡單的答案，因為這是一門廣泛而偉大的學問。在最近幾千年來，幾何學有非常重要的發展，跟許多其它的科學不但有關係、有作用，而且是基本的因素。講到幾何學，我們第一個想到的是歐幾裡德。
  • 兩條平行線必相交——非歐幾何的創立
    細心的學者發現，在《幾何原本》中，歐幾裡得直到第二十九條命題才使用第五公設，也就是說，不依靠第五公設就已經能推出前二十八個命題了。而且二十九命題之後也沒使用過第五公設。如此看來，將其置於公設的位置未免有些浪費，能不能降個檔次，作為定理使用呢？這就是幾何史上著名的「平行線理論」，這一爭議持續了很久，長達兩千多年，並引出了非歐幾何學這一門分支。
  • 幾何學的發展與代數化
    如果我們在世界數學發展的範圍內考察，就會發現，空間形式的數學思維發展最先形成較完整的體系，並對世界數學產生重大影響的，當屬歐幾裡得的《幾何原本》，它使空間觀念的發展大大超越了同時代的數量觀念的發展。當古希臘的幾何學成為一門獨立的數學分支時，代數還沒有形成與幾何學相同的較嚴謹的邏輯體系。從公元前3世紀到後來的中世紀，幾何學在西方數學中佔據著主導地位，代數則處於從屬地位。
  • 歐幾裡得和笛卡爾到底誰更厲害
    約前330年歐幾裡得出生於希臘的雅典，對於歐幾裡得的身世，我們知道得很少，歐幾裡得年少時曾進入雅典的柏拉圖學院學習，後歐幾裡得決定寫作一本關於數學和幾何學的系統化、理論化書籍，並從雅典長途跋涉來到了當時的文化中心希臘化的埃及託勒密王朝的亞歷山大城。並在亞歷山大城收集數學專著和手稿，虛心向學者求教，並開始著述。大約前300年，歐幾裡得的《幾何原本》完成。
  • 泛函分析:n維空間到無窮維空間的幾何學和微積分學
    泛函分析的產生19世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段：出於對歐幾裡得第五公設的研究，引入了新的幾何學——非歐幾何；出於對於代數方程求解的一般思考，建立並發展了群論；非歐幾何的確立，數學家認識到了n維空間幾何，於是多元函數可以用幾何學的語言解釋成多維空間的影響。分析和幾何之間的這種相似的聯繫，使得分析幾何化成為一種可能，這種可能性要求把幾何概念作推廣，以至把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。