不知各位老師是否有這樣的感覺，每當講到諸如「正四面體的內接或外接球」「圓錐曲線交點弦」等需要空間想像等幾何問題的時候，臺上老師口沫橫飛，臺下學生哈欠連天。
老師：已知地球半徑為R……
學生：好的…
老師：球面上A,B兩點都在北緯45°圈上，他們的球面距離為1/3πR，A點在東經30°上……
學生：emmmm……
聽不懂！看不明白！
高中數學課標更新之後，《普通高中數學課程標準（2017年）》提出了新的六大核心素養，今天我們主要為讀者們介紹解決數學難題的利器之一-幾何直觀，並且還要教大家使用這把「武器」。
直觀想像的概念
直觀想像是《普通高中數學課程標準（2017年）》中所提出的六大核心素養之一。
新課標給出的定義是：藉助幾何直觀和空間想像感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。其具體涉及：利用空間形式認識事物的位置關係、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形和數的聯繫；構建數學問題的直觀模型，摸索解決問題的思路。
從直觀想像的定義來看，該素養主要包括兩個方面：幾何直觀和空間想像。
那麼問題來了，兩者的具體概念是什麼？培養兩方面能力的意義是什麼？
咳咳~小板凳搬好，小本本準備好，劃重點啦~
幾何直觀幾何直觀屬於數學領域的重要概念，是學習數學學習的核心技能，它與數學抽象密不可分，是完成由感性至理性認知的重要條件。
「幾何」是什麼？幾何是研究形的科學，以人的視覺思維為主導，培養人的觀察能力、空間想像能力和洞察力。這麼說吧，小學時候的七巧板，初中最為經典的勾股定理，高中的平面解析幾何（沒錯，就是那個讓人痛哭流涕、生不如死的圓錐曲線部分）以及立體幾何，這些都屬於幾何。幾何的發展首先是歐幾裡得的歐氏幾何，其次是19世紀上半葉，非歐幾何的誕生，再次是射影幾何的繁榮，最後是幾何學的統一。
「直觀」是什麼？依據《辭海》中的解釋，直觀是不經過理智推理過程，而由感覺或精神直接體驗的一種認識作用。它是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得感性認識的一種方式。腦科學理論認為，用視覺等感覺器官感受客觀物體，在大腦中形成對客觀物體直接的、生動的反映。在教育中，直觀的教學可以幫助學生在大腦中形成心智模型，幫助同學掌握通過操縱心智模型解決問題的能力（說到這裡，火花學院的可視化教學了解一下~）。
那麼，幾何和直觀，雙劍合璧組成的幾何直觀，是指利用圖形描述和分析問題，即通過幾何圖形對事物進行的直接感知和整體把握。幾何直觀對數學基本思想和基本方法的培養有著重要的意義。
「2017年版課標」中明確提到：幾何直觀表示藉助圖形和圖形、圖形和數字來認知與研究問題。藉助幾何直觀將不容易掌握的數學問題轉化的更為具體化、簡單化和形象化，有利於尋找化解問題的思路與方式，這是幾何直觀的基本意義。也就是說：幾何直觀有利於將繁雜的數學數據問題直觀化展現。
更有資料證明：大多抽象的數學問題，其數學本質可以用直觀的圖形來表達。正因如此，幾何直觀符合中學生數學的學習特徵，而藉助幾何圖形來認識和理解數學問題也十分實用。
密密麻麻的字看得人腦闊疼，下面給大家舉個慄子消化消化~
在證明勾股定理的時候，做8個全等三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形。
從上圖可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b，所以面積相等，即
整理得
筆者在教學時，提出如下三個問題：
① 觀察以上兩個正方形，其面積關係如何，為什麼？
② 如何用數學語言描述兩個正方形的面積。
③ 最後得到的結論是什麼？其圖形語言又是什麼？
這幾個問題的設置遵循循序漸進的教學原則，從最初的「直覺認為兩個正方形面積相等」到 「通過證明知道兩個正方形面積相等」，正是從感性到理性的過程，再由圖形語言發展到數學語言進行描述，從而逐步得到勾股定理公式。最後再從數學語言回到圖形語言，實現了圖像與數量的有機結合，同時也是一個知識內化的過程。 由此可見，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學。
空間想像空間想像是什麼？（讀者內心OS：按照上面的套路，下面又要進行拆開再合併的套路了bingo！猜對了，沒有獎勵！）
空間是什麼?從比較嚴格的角度上來說，空間是與時間相對的一種物質客觀存在形式，但兩者密不可分，按照宇宙大爆炸理論，宇宙從奇點爆炸之後，宇宙的狀態由初始的『一』分裂開來，從而有了不同的存在形式、運動狀態等差異，物與物的位置差異度量稱之為『空間』。通俗直白地說，空間就是由長、寬、高表現出來的有大小、位置的立體維度。
那什麼是想像？想像是一種特殊的思維形式，是人在頭腦裡對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程。它能突破時間和空間的束縛。emmm~所以，只要你敢想像，就沒有想不成的事！
由於空間是對事物及其運動的方位、形態等性質加以計量與描述過程中抽象得到的，所以空間想像是人們對客觀事物的空間形式（方位、形態）進行觀察、分析、認知的抽象思維能力。同時存在的空間秩序方面的形象及內心活動，其對事物的形態、方位、體積、排列順序的認知，也就是對空間形式的認識。
好了，說了這麼多，空間想像這玩意兒對數學到底有什麼用？呵呵，畢竟，可並不是所有人都能像凱庫勒一樣，做個夢就解決了苯環的結構。
在求解球面面積的時候，學生們常常因為難以完成對腦海中二維圖形到三維圖形的轉換，導致其求解問題困難，比如以下這道題。
已知地球半徑為R，球面上A,B兩點都在北緯45°圈上，他們的球面距離為1/3πR，A點在東經30°上，求B點的位置及A,B兩點在其經緯圈上所對應的劣弧的長。
求解這道題的時候首先需要分析，要求B點的位置，就是要求∠AO1B的大小。所以只需要求出弦AB的長度即可。對於AB，應該把它放在 △OAB中求解，根據球面距離概念計算即可。
由此可以看出，學生的思維經歷了一個從二維到三維再到二維的轉變。也就是說，其結論經歷了一個「看」的過程，會「看」需要直觀想像的素養，而立體幾何內容恰恰為學生提供了培養直觀想像素養的最好平臺。
用直觀想像講幾何技巧
史寧中教授說過：「無論進行怎樣的課程改革，如果用一句話描述數學教育的根本，那就是培養學生的數學直觀，因為數學的結論是「看」出來的，不是「證」出來的，「看」依賴的就是數學直觀，這是「三會」（會用數學的眼光觀察顯示世界、會應數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界）的現實表現，數學直觀是一個人長期進行數學思維形成的，是逐漸養成的一種思維習慣，這個思維習慣日積月累就形成了數學素養，在這個意義上，所有的學科都應該把培養學科的直觀作為這個學科的終極培養目標。」
在教學中如果對幾何直觀這一名詞只是提的多，理性分析不夠，不能把握其培養規律，就可能造成這樣的結果：少部分有悟性的學生的幾何直觀得到了提高，而大部分學生則收益甚少，乃至於視「函數」「立體幾何」等數學的學習為畏途。那麼該如何用直觀想像講授數學，並引導學生逐漸形成幾何直觀？
走過的路過的可別錯過~Show time now！下面簡單闡述一下筆者在日常教學中積累的經驗。
聯繫生活實際學生的幾何知識經驗是在日常生活中累積起來的。例如對圖形的直觀感知，這對於他們發展幾何直觀、學習「空間幾何體的結構特徵「「三視圖」「平面公理」等各種概念與定理起著引導性的作用。所以，幾何教學應當聯繫生活實際，貼近學生生活。特別是對於那些十分抽象的幾何公理定理、各類判定與性質等，除了要藉助形象直觀的視覺素材，同時，也應準備相關的實物舉例以聯繫生活。從而加深對幾何概念的理解，形成相關幾何概念的直觀認識。
建立「數形結合」直觀想像是利用圖形理解和解決數學概念及問題的過程。其中概念是對事物本質屬性的反映，數學概念是某種對象在數與形方面的內在的固有屬性，由某些特定的數學符號來表示。對於初學者，可能較難理解，如果只是死記硬背，很難體會到某個數學概念所表達的共同特徵。所以對於數學概念的形成過程，可以結合直觀圖形，加強學生對概念的理解。而對於解決數學問題，數學中數與形的聯繫，能加深學生對數學問題本質的理解和認知，從而使學生能更快地找到解決數學問題的方法。在函數、向量等知識模塊中，數形結合都是十分實用的理解和解決概念與問題的方法。
【案例1】藉助圖形理解分段函數。
藉助特殊模型如在立體幾何的教學中，若能藉助特殊模型，讓學生通過直觀感知特殊模型中點、線、面的位置關係，積累空間幾何體的表象，增強空間圖形的直觀感，養成空間思維習慣，對增強學生的空間思維能力以及培養學生的直觀想像素養有明顯的促進作用。
【案例2】藉助正方體模型理解空間中點、線、面的位置關係。
【案例3】藉助特殊模型理解祖𣈶原理。
總之，教師要注意在日常教學中挑選適宜的教學內容與方法來培養學生的直觀想像力。「顯而易見」、「由題易知」這些大神用語，學生真的get不到，作為六大核心素養之一，教師應當科學對待幾何直觀和空間想像之間的聯繫。
教學中，教師要利用直觀想像的情境與設想引導學生，藉助特殊模型以及實物模型等，建立數形結合，以培養學生空間想像思考能力，不僅能有效的簡化數學問題，更是建立直觀想像素養的根本途徑。