漫談黎曼幾何,揭秘高維空間的數學骨架,遠比你想的簡單.

1854年6月10日，一門新的幾何學誕生了。

半個多世紀後，愛因斯坦的出現，才喚醒了它真正的價值，成了支撐廣義相對論的基石。

這就是解讀空間奧義的黎曼幾何。

黎曼幾何的出現，預示著我們生活的空間，遠沒有想像的那麼簡單。我們對於空間原有的認知，就像一個盲人在描述色彩一樣滑稽。

黎曼：我們對空間的描述太不真實。

在黎曼之前，我們對於空間的認知，完全源於2000多年前的希臘幾何，即歐幾裡得幾何。

我們生活的空間是「平的」，深入人心。

歐幾裡得的《幾何原本》在各個學術領域被奉為《聖經》，如同一種信仰。

宏偉的教堂、浩大的廣場、人聲鼎沸的城市，都是基於它的原則而建立起來的。任何一個敢於言論曲面空間或高維理論的人，都如同異教徒一般。

所以，儘管歐洲一些數學家們早已意識到歐幾裡得幾何的不完美，但由於思想信仰上的束縛，以及社會關係上的掣肘，沒有人敢質疑它的權威。就像高斯，雖然對空間是「平的」感到不滿，但卻從不曾在公開場合發表自己的觀點，只是在背後抱怨那些愚蠢的老頑固。

歐幾裡得幾何的基礎在現實世界中明明如此脆弱，人們卻視而不見。對於最簡單的直線定義，歐幾裡得只給出了一個感官的闡述，沒有任何邏輯的支撐，這讓歐幾裡得幾何的宏偉大殿如同建在鬆散的沙丘之上。

而黎曼眼中的幾何，應當是用來描繪世界的，而不是用來供奉的。

他看著連綿的山脈、無邊的雲海、打著旋兒的浪花，沒有一處是平的，或是完美的圓形、三角形和矩形。世界本就是曲面的，而描述物體形狀的幾何，卻無法描繪這一切，這是何等的可笑與無奈。

這種思想在黎曼腦中翻江倒海，各種光怪陸離的想法匯聚了起來，在大腦中孕育著關於空間的潘多拉魔盒。

被高斯逼出來的《論奠定幾何學基礎之假設》擊碎了2000年來的希臘幾何支柱

作為一個高中時，就試圖用數學公式來證明《聖經》創世紀的人，黎曼的數學天賦是毋庸置疑的。

而作為黎曼的老師，保守的高斯對黎曼更抱有殷切的期望，希望借他之口「改變世界」。於是對於黎曼的哥廷根大學就職演講，高斯給出了一道世紀性的難題：論幾何的基礎。

以下是付費內容

面對這個選題，本就身體虛弱的黎曼一度抑鬱到了神經衰弱，因為他要建立的是一套挑戰歐幾裡得幾何的高維空間理論，當時稱為空間-流形。

黎曼要麼被陳舊的認知壁壘所阻，受社會排擠；要麼開啟全世界數學家的認知突圍，開創一個新的空間觀。這樣的壓力可想而知。

為了讓人們更易理解且接受他的思想，黎曼把高斯的平面「書蟲」假象進行了擴充，用於闡述幾何與我們已熟悉的力之間的關係。

如果一張紙上生活著二維生物，把它們生活的紙褶皺之後，它們依然會覺得世界是平的，但當它們在褶皺的紙上運動時，它們就會感到一股看不見的「力」阻止它們沿直線運動。

這是自牛頓200年以來，人類首次在思想上對空間認知的突破，黎曼成為了第一個認為力是由空間變形造成的人。

如果把這個思路擴展到我們的三維世界，就可以得到這樣的結論：我們看不見空間的彎曲，但在彎曲的空間中運動，會感到一股神秘的力在拉拽我們。而這種力不僅是引力，黎曼把電力、磁力也歸結於宇宙在第四維空間的褶皺，只是我們看不見。

黎曼通過引入第四空間維度，無意間探知到了自然定律在高維度會變得更加簡單的秘密。而且他還找到了，讓所有人都能認同他思想的表述方法。

高維空間裡的勾股定理，幫助我們描述看不見的高維物體的特徵。

自從黎曼的演講公布後，所有的數學家們沒有人再去研究歐幾裡得幾何，紛紛投入到研究黎曼幾何的熱潮中。

黎曼以極其簡潔的方式，表達了他的核心內容。它建立在我們都非常熟悉的勾股定理之上，非常好理解。通過把直角三角形的三邊長關係定理：a^2+b^2=c^2，推廣到高維。

三維立方體的三邊與對角線關係就是：a^2+b^2+c^2=d^2（abc為三邊，d為對角線）。

再推廣到N維超立方體則是：a^2+b^2+c^2+d^2+……=z^2。

如此，儘管我們大腦很難想像高維物體的形狀，但黎曼通過數學構建了其骨架。當黎曼把這些方程推廣到任意維度後，原有的歐式幾何認知都將會打破。在我們真實的世界中，三角形之合大多數時候並不等於180°，平行線不再平行，直線可能變得彎曲……

黎曼改變了我們對「空間是平的」的認知。為了描述所有的曲面，他將拉法基場的概念引入到了黎曼幾何中，通過給空間上每一個點引入一個數字集合，來描述空間在這一點上的所有狀態即曲率值。

一個普通的二維面，只需要引入三個數字的集合，就可以完全描述它的所有彎曲狀態。而在四維空間，黎曼發現需要至少10個數字的集合。這個數字集合就稱為黎曼度規張量。

這些密密麻麻的數字或許讓人望而卻步，但我們只需要理解其代表的空間概念即可。

空間成了黎曼手中的玩具，他才是支撐起近代物理學的巨人。

黎曼度規張量的出現，甚至提前預言了物理學的下一個發展方向，而且黎曼可能才是發現多連通空間或蟲洞的第一人。

黎曼曾假設了一種兩個曲面連接的方式，比如拿兩張紙，在每張紙上剪一個切口，然後兩張紙沿著切口粘起來。我們的二維「書蟲」就可以經切口處，從一張紙爬到另一張紙上，這個切口被稱為「黎曼切口」。

黎曼切口就像一個連接兩個空間的蟲洞，而黎曼只把它當做了數學幾何，而沒有賦予它物理意義上。但實際上，黎曼也一直在做著以高維空間來統一力的事情，1858年，他甚至還宣稱找到了統一光和電的描述。

但不幸的是，貧窮與疾病幾乎伴隨了他的一生。黎曼39歲就病逝於肺結核，而他也未能發表出關於引力、電力、磁、光的幾何理論。但他的工作卻成為了後世物理學界巨大的寶藏，成就了麥克斯韋和愛因斯坦兩位科學巨人的崛起。

黎曼為物理學界留下了三大主要的研究課題：

1、高維空間可以用來簡化自然定律，他預言了電、磁、引力都是高維空間褶皺引起的。

2、為蟲洞概念留下了最簡單、最直觀的例子。

3、通過度規張量裡包括的曲率數值可以來描述引力，把引力表述為了場的概念。

然而也正因為黎曼度規張量的強大，使用它，任何維度空間都能被明確定義並找到自洽性，不會出現早期關於高維空間研究中無法迴避的邏輯矛盾。

隨著黎曼掀起的高維空間思想被廣泛傳播，世界的描述被改變了，也掀起了19世紀末20世紀初的神秘主義泛濫。

空間的潘多拉魔盒被打開，世界卻被「神秘的四維」所詛咒。

一切新事物、新觀點的出現，總會伴隨著爭議與誤讀，黎曼的高維空間思想也是如此。

在四維空間概念風靡全歐洲後，眾多的科學家紛紛加入到了四維空間的科普中。物理學家急切地希望找到黎曼幾何的物理應用，然而卻被另一些科學家以世俗的實用主義，來討論二維生物該如何吃飯？

結論是一根消化道就足以要了二維生物的命，因為它的身體將會被這根消化道一分為二。

或者去探討四維生物應該是什麼樣子的？

而這成為了大眾的興奮點。這樣的生物可以穿門而入，在任意空間位置上出現或消失，無視遠近看見我們所看不見的地方，為我們進行無需開刀的外科手術……最終要麼成了神，要麼成了鬼，或者製造出如1877年轟動倫敦的巫師亨利·斯萊德事件。

一個聲稱能在四維空間自由穿梭的騙子，引起了一群科學家的興趣，而要揭露他的把戲只需要一個魔術師就行了，而不是科學家。這場「臭名昭著的四維」話題徹底給高維空間貼上了不靠譜的神秘主義標籤。
大家只注意到了黎曼幾何帶來了的光怪陸離的新鮮刺激，卻忘記了黎曼的初衷。沒有清晰的物理動機，純數學概念往往就變成了社會流量的消費品，以及各種曲解的投機事件。
可惜黎曼的高等數學超出了19世紀物理學的認知，那時的物理學家無法給它一個清晰物理繪景，使它一直蒙塵。而由黎曼幾何掀起的四維探知熱潮卻沒有褪去。四維成為神秘主義的天堂，將人們對四維的認知引上了歧途。
黎曼雖然建立了高維空間的數學骨架，但無法使人們對其產生直觀的感知。