歡迎來到高維繫列的第四部分，在這裡我們將探索高維空間中一些奇怪而又令人匪夷所思的現象。開始之前，我們一起複習一下前三個部分的一些重要結論：
第一部分，我們得出，在無限維空間中球體的體積都集中在邊界上，我們只能知道這個結論，但是無法想像！走進高維空間——體驗難以置信的感覺
第二部分的結論是，在高維空間中，內切於求內的立方體不完全在球體以內。高維空間中最不可思議的發現——球內的立方體，沒有人可以理解
3.在第三部分中，我們推導出，在無限維空間中，點與點之間的距離都是相等的。
走進高維空間——所有點之間的距離都相等！奇妙、瘋狂、不可思議
今天，我們將進入高維空間中的概率論世界，嘗試並闡明一些令人困惑的現象。當我第一次了解高維空間中概率論的一些基本概念時，我完全被震撼了。高維空間和概率論之間的聯繫是非常深刻的，而且大多超出了我目前的知識範圍。然而，通過在概率論中引入一些相對簡單的概念，並將它們與我們已經探討過的情況聯繫起來，我們可以對一些事物在高維空間中的行為有一個小小的了解。
親愛的讀者朋友們，做好準備了嗎？它可能會以意想不到的方式改變你的想法。
01隨機變量
引入隨機變量的概念是很有必要的。首先，變量只是一個符號，如X或Y，它表示某個集合的任意值。隨機變量的值取決於某些隨機現象的結果。隨機變量有一組可能的值，以及一個概率分布，它定義了每一個可能值發生的概率。隨機變量的一個典型例子是擲骰子。這裡，隨機變量有6個可能值1、2、3、4、5、6，每個值的概率都是1/6。如果擲出一個3，我們可以把這個值看成是隨機變量的一個實現值，但在擲骰子之前我們只知道它的可能值以及每個值對應的概率。另一個常見的隨機變量的例子是拋一枚均勻的硬幣。這裡，隨機變量只有兩個可能的值，正面或反面，每個出現的概率都是1/2。
隨機變量可能比擲骰子和拋硬幣複雜得多，但最基本的概念仍然是一樣的。一個隨機變量是由它的可能值以及每個值發生的概率定義的。
02空間中的點作為隨機變量的實現
當我們在n維球體內部選擇一個隨機點時，每一個點的坐標實際上是一個隨機變量的不同實現！
考慮一個以原點為中心、邊長為1的n維立方體。為了在n維立方體內生成一個隨機點，我們需要隨機生成與該點相關的n個坐標值，每個坐標值在-0.5到0.5之間。現在，重新考慮擲骰子事件。如果我們擲n次骰子並記錄結果，我們將得到一個n個整數的序列，範圍從1到6。你看到它們之間的聯繫了嗎？這和在-0.5和0.5之間隨機生成n個坐標是完全一樣的！在空間坐標的情況下，隨機變量是一個更複雜的變量，但基本思想是一樣的，每一個都與一個特定的概率有關。在擲骰子或超立方體的單個坐標的情況下，每個可能的值都有相等的概率。這被稱為均勻概率分布，它可以存在於一組離散的結果（例如，擲骰子的六個可能的整數值）或一組連續的結果（例如，所有在-0.5到0.5之間的可能值）上。
我們剛剛確定n維立方體內隨機點的每個單獨坐標都是一個隨機變量，n次拋擲骰子的結果也是如此。
03隨機變量和
隨機變量的概念是概率論和統計學的基礎。當你總結隨機變量時，會發生一些令人難以置信的事情，我們很快就會看到。
再考慮一枚均勻的硬幣。假設我們感興趣的是在給定的拋硬幣次數中數出正面的次數。為了更加方便量化，我們把正面的結果編碼為1，反面的結果編碼為0。之前，我們看到，拋一次硬幣有兩個可能值。我們說拋10次硬幣，正面的次數是10個獨立分布隨機變量的和。為什麼獨立？獨立意味著每次拋硬幣的結果不依賴於其他的結果。每一面都以50%的概率出現。再強調一次，投擲10次硬幣正面的次數是10個結果（0或1）的和。隨機變量有一些特別優雅的性質，它們絕對是統計學領域的基礎（例如，中心極限定理）。
不管怎樣，讓我們回到正題上來，考慮一下拋10次硬幣得到正面的次數。我們期望硬幣正面朝上的次數是多少？既然每次拋硬幣都有50%的機會是正面朝上，或許一個合理的猜測是十次拋硬幣中有五次是正面朝上。根據經驗，我們知道硬幣可能會有5次正面朝上，但它也可能0次或10次，或中間的任何數。畢竟，它是隨機的！
讓我們模擬拋硬幣10次並記錄硬幣正面朝上的次數，然後重複這個實驗1萬次！這樣，我們就可以想像一次投擲10次的結果的分布。
這看起來很合理，對吧？這是1萬次投擲硬幣10次的結果分布然後記錄正面的次數。得到0個正面或10個正面似乎很少見，得到5個正面最常見，這是我們最初的猜測！但是我們要注意的是，我們確實看到了結果中有很大的可變性。我們並不總是得到5次正面朝上；相反，我們看到了1萬次試驗的全部結果。雖然很難從圖中分辨，但有大約10次試驗結果是0次正面，另外10次結果是10次正面。
但是它和高維空間有什麼關係呢？別急，我們很快就會揭曉！與其拋10次然後數正面，不如拋100次然後數正面的次數，然後重複1萬次！我們現在討論的是100個i的和。下面是我們10,000次試驗的結果：
哇！這看起來確實有點不同。如果我們投擲100次並記錄正面的數量，我們看到的可能的正面數量是0到100之間的任意數，對吧？然而，根據我們的10000次試驗，一個試驗中出現少於30個正面或多於70個正面的情況是極其罕見的。我們不再像拋10次硬幣那樣看到所有可能的結果。實際上，看起來每次試驗中正面的數量更集中在平均值（50）附近。
我們再來做一次，但不是扔100次，而是扔1000次，它等於1000個i的和。下面是我們10,000次試驗的結果：
這裡有一個明顯的趨勢。看起來，隨著拋硬幣次數的增加（例如，從10次到100次到1000次），我們在每次試驗中看到的正面的次數會越來越集中在相對於所有可能值的平均值周圍。拋擲硬幣現在看來可能微不足道，但我們很快就會發現，我們現在看到的現象絕非如此。
04高維度的空間
我們上面所演示的並不是投擲硬幣的特定現象，而是一種被稱為測量集中的普遍現象的表現。對這一普遍現象的所有理論和含義的全面理解遠遠超出了我的能力範圍。然而，這一現象最值得注意和可能廣泛適用的表現之一是我們在拋硬幣時所觀察到的，也就是說，當拋硬幣的次數累加後，觀察到的結果會更緊密地集中在平均值周圍。這是由概率統計中一個非常重要的定理描述的，稱為大數定律。大數定律將這一概念形式化，即隨著拋硬幣次數的增加，會越來越接近一半正面，一半反面。
對於那些熟悉的人來說，上面的情節會讓人想起我們在之前系列的情節，特別是在第一部分和第三部分。讓我們再次回顧一下。在本系列的第一系列中，我們看到從n維球中隨機選擇的點隨著n的增加會更集中在球的外邊界。換句話說，隨著空間維度的增加，原點和每個點之間的距離普遍接近於1；也就是說，它們到原點的距離大致相同。在第三系列中，我們看到從n維球中隨機選擇的點對，隨著n的增加，會更加集中在平均距離附近。當我們進入更高維度時，所有點與其他點的距離大致相同，幾乎沒有變化。
考慮到n維立方體。讓我們做一個實驗，從以原點為中心的n維立方體中選擇大量的隨機點，並測量每個點與原點之間的距離，類似於我們在第一系列中所做的。我們將對10維，100維和1000維進行這個實驗。下面的圖顯示了每個n維立方內10000個隨機點到原點的距離分布：
就像我們之前看到的，當我們進入更高的維度時，看起來這些點在離原點的特定距離周圍變得更緊密。如果你還沒有對這些聯繫感到瘋狂，我建議你看看10次、100次和1000次拋硬幣時正面出現的次數。它們與原點和10維、100維和1000維超立方體內隨機點之間的距離圖幾乎相同！這是巧合嗎？我認為不是！讓我們更深入地探究一下到底發生了什麼。
我們已經知道在給定的拋硬幣次數中，正面的次數是隨機變量i的和。當我們增加被求和的項數時，隨機變量會更加集中在更少的可能值中（例如，大數定律）。但這和高維空間有什麼關係呢？更具體地說，它和n維立方內的一點到原點的距離有什麼關係？
還記得我們是如何計算從一點到原點的距離的嗎？讓我們再來看一看：
換句話說，n維空間中給定點到原點的距離是該點各坐標平方和的平方根！還記得之前我們把空間中隨機點的每個坐標描述為隨機變量的實現嗎？如果一個隨機點的坐標是隨機變量，那麼這些坐標的平方也是隨機變量。更進一步，為了計算從一點到原點的距離，我們要對每個單獨坐標的平方求和，所以我們是對隨機變量求和！我們可以忽略這個平方根因為它不會改變基本的概念。
我們剛剛意識到計算n維立方中任意一點到原點的距離需要對i 求和。同時，當我們增加維度n時，我們也在增加項的數量。我們在上面拋硬幣的實驗中也看到，當我們增加i，我們觀察到的結果越來越集中在平均結果附近。所以，n維高維立方體中所有的點聚在一起距離原點的距離是相同的這一事實與測量濃度的概率現象有關。老實說，我甚至不知道這到底是怎麼回事，但這太瘋狂了，讓我非常震驚。
在高維領域中，這種測量現象並不只存在於n維立方中原點與隨機點之間的距離。儘管技術細節會因我們所研究的形狀類型而有所不同，但這些都是概率論和更高維度空間之間深層次的神秘聯繫的表現。
05總結
我們只是觸及了一些驚人和奇妙的概念。我們發現我們在高維空間中遇到的一些奇怪現象與概率論有關。簡而言之，我們在高維空間中觀察到的許多古怪特徵與我們投擲一堆硬幣或擲一堆骰子時所看到的相似！
我鼓勵你們認真思考這個問題。因為我們是隨機生成點，似乎很明顯，我們期望隨機變量和概率論以某種方式參與其中，但我們能想像它與這些更高維度空間的「物理」特徵有如此根本上的聯繫嗎？就是說，空間內隨機點的集中傳達了空間內體積分布的信息。在二維和三維空間中，我們可以依靠人類的感官來了解空間的物理特性。然而，當我們進入更高的維度時，我們必須依靠其他工具來理解我們的發現，我完全驚訝於概率論可以作為一個如此突出的工具來理解這些空間。
我們已經一次又一次地看到，高維空間是絕對瘋狂的，並且呈現出一些非常奇怪的特徵，但我們還沒有真正探究為什麼會這樣。坦白地說，我沒有足夠的知識來完全理解我們為什麼會看到一些我們已經看到的東西。然而，這些問題，以及當我思考這些空間時，我所得到的奇怪但愉快的感覺，是我繼續前進的動力。