歡迎來到高維繫列第二部分，感興趣的話可以看高維繫列第一部分：走進高維空間——體驗難以置信的感覺。這部分我們將探索高維空間中一些奇怪而有趣的新奇事物。如果你還沒有讀過，我鼓勵你在繼續讀第二部分之前先讀第一部分，尤其是當你認為自己不確定我說的高維空間是什麼意思的時候。我們建立了一些概念和工具，這將非常有助於理解這部分內容。不管怎樣，在第一部分中，我們看到了在一個半徑固定的球裡，原點和隨機選擇的點之間的距離，當我們進入到高維空間時，我們的思想被極大地震撼了。今天，我們將探索我認為是我們從低維度到高維度所觀察到的最奇特的現象之一，即球中立方體的奇妙案例！
兩種形狀：立方體和球體
我們只需要兩個形狀：一個立方體和一個球。
在這個系列的第一部分中，球是我們的主角，所以我在這裡只簡單回顧一下。一個球是所有點的集合，這些點與給定的中心保持一定的距離。這聽起來可能有點晦澀，但請繼續聽我講。在二維空間中，一個球就是一個圓，以及圓內的所有點；在三維空間中，球是一個球體，球體內的所有點都在球體內。每個球都有一個中心和一個半徑。為了簡單起見，我們總是取中心為原點，它在所有維度上的坐標都是0，比如二維中的(0,0)或三維中的(0,0,0)。半徑是球的中心到外邊界的距離；例如，如果一個球的半徑是一個單位(這將是這篇文章的默認值)，那麼球內的所有點都在距中心一個單位內。當我們移動到高於3的維度時，我們不再能看到球，但它的定義仍然是完全相同的：空間中的所有點距離球的中心(由半徑定義)是固定的。我們用n維球這個術語來表示n維空間中的球。
那立方體呢，讓我們從最容易想到的場景開始：二維和三維。在二維空間中，一個立方體就是一個正方形：一個有四條等長邊和四個直角的封閉形狀。現在，我們說邊的長度是d單位。同樣，與球一樣，我們使用術語n維立方體來表示n維空間中的立方體。n維立方體也被稱為超立方體。下面是一個邊長為d的2維立方體。
在三維空間中，我們通常認為我們有一個「立方體」，它是一個封閉的形狀，以六個正方形(2維立方體)面為界。同樣，立方體中所有的邊都是相同的長度d。
你說4維立方是啥樣的？甚至是一個10維立方，什麼樣的？別急，我完全理解你進入更高維度的渴望！但是，讓我們先花點時間來考慮一下低維的情況，也許這會告訴我們如何理解高維的情況。下面讓我們明確地列出低維度中邊長為d的立方體的定義：
0維立方體：空間中的一個點(實際上，任何零維物體都只是一個點)。1維立方體：一條長度為d的線(同樣，任何一維物體都是一條線，除非它只是一個點)。2維立方體：邊長為d的正方形。3維立方體：邊長為d的立方體。我相信你在2維和3維的定義上和我是一致的，但也許認為0和1的定義是憑空而來的。但是，請耐心聽我說，讓我們考慮一下這些立方體之間的關係，看看它們有什麼共同之處；具體來說，我們如何從一個0維立方到一個1維立方呢？然後從一個1維立方到2維立方？然後從2維立方到3維立方？在閱讀之前，先仔細看看下面的插圖：
正如你所看到的，如果我們從一個0維立方體開始，在原點上的一個單點，然後沿著一個方向「掃過」空間，得到長度為d的單位，我們就得到了一個1立方體，這是一條長度為d的直線！然後，如果我們取一個立方體(一條線)，在空間中以一個新的(第二個)方向掃過一個長度為d的單位，我們就得到了一個2維立方體，它是一個邊長為d的正方形！你開始明白了嗎？最後，如果我們取2維立方體(一個正方形)，在空間中以新的(第三個)方向掃過一個長度為d的單位，我們就得到了3維立方體，目前為止，都很完美！
那麼，接下來會發生什麼呢？我們如何從3維立方到4維立方？好吧，讓我們做一件和之前的情況完全一樣的事情：我們用3維立方體，以一個新的(第四個!!)方向掃過空間，長度為d個單位，這就得到了一個4維立方。我想肯定有不少人會問：「新第四方向是什麼？」「我們都有很強的三維(方向)意識：左/右，前/後，上/下。也許我們聽說過時間被稱為第四維度。但是在第四個方向上移動d個單位是什麼意思呢？老實說，我不知道。但這正是它如此有趣的原因！
不管怎樣，我們已經遷移到我們無法想像的神奇空間世界，記住我們不能失去希望。我們必須簡單地用數學工具裝備自己，然後繼續向黑暗前進！現在，我們的主要工具只是一個簡單的事實，即一個邊長為d的n維立方體是通過將一個(n-1)維立方體在空間中以新的方向/維度掃過一個長度為d的單位來形成的。
立方體的角在哪裡？
既然我們已經對n維球體和n維立方體有了清晰的理解，我們怎麼才能讓我們的頭腦「爆炸」呢？讓我們從一個非常簡單的二維場景開始，一個2維立方體，邊長為1個單位，裡面有一個半徑為1個單位的2維球體（圓），它們都以原點為中心。這只是一個圓裡面的正方形，就像下圖所示這樣：
根據定義，我們知道從2維球體的中心到2維球體的邊緣的距離是1個單位，然而，對於2維立方體，中心到邊緣的距離取決於方向。例如，我們知道沿水平或垂直軸的距離是0.5個單位(邊的一半長度)：
到2維立方體的角的距離是多少？如果你看過本系列第1部分，那麼你就會知道，對於勾股定理來說，這是一項簡單的計算！具體來說，中心到角的距離是（0.5^2+0.5^2）^(1/2)，大約0.7個單位，這個角在這裡很特殊，因為它是離2維立方體中心最遠的點。
那麼，我們學到了什麼？我們知道2維球體的外邊界上的每一點到中心的距離都是相同的，1個單位。我們還知道，2維立方體的中心與外邊界之間的距離是變化的，最短的距離(平行於立方體的任何邊的方向)是0.5個單位，最長的距離(到角的距離)是0.707個單位。同時，2維立方體中的每一個點都在2維球體內部，從上面的圖中可以很清楚地看出。
當我們進入三維空間時，會發生什麼變化？根據定義，正如本系列第一部分所述，我們知道3維球的外邊界上的每一點到中心的距離都是相同的，1個單位。那3立方呢？因為這些邊的長度只有1，而且立方體以原點為中心，所以我們知道最短的距離(平行於立方體任何邊的方向)仍然是0.5個單位。3維立方的角離中心有多遠？同樣，這是我們在第一部分中學習到的勾股定理的高維推廣的工作！具體來說，如果我們有一個點在三維坐標(x1, x2, x3)上，那麼我們可以計算出這個點到原點的距離如下：
3維立方體的角的三維坐標是什麼？這很簡單！它們就是(0.5，0.5，0.5)如果這還不清楚，看看上面的2維立方體，想想三維的類似物。從中心到3維立方的角的距離大約是0.866。3維立方體中的每個點仍然在3維球體內部，但看起來立方體的角比二維情況下更靠近球的邊緣。也許你不以為然。畢竟，這在數學上有完美的意義：我們添加了一個額外的維度，並將角的坐標向新的維度的方向移動了0.5個單位，所以當我們添加一個維度時，角離中心稍微遠一點是有意義的。另外，半徑為1個單位的n個球的定義要求任何點到中心的距離都不超過1個單位。這意味著什麼？什麼時候事情會變得奇怪？讓我們來看看……
下面，我將繪製n維立方體的中心到角的距離，維度n從2到100，我們可以使用泛化的勾股定理來計算：
任何n維立方體中每條邊的長度都是1，但是隨著維數的增加，從中心到角的距離越來越遠。不論多少維，任意一條邊的中心到中點的距離都保持在0.5，在半徑為1的球的邊界之內；然而，當我們進入更高的維度時，立方體的角在球的邊界之外。事實上，在四維空間中，立方體的角在球的邊界上(我鼓勵你自己做一下數學計算，自己去看一下)。我聽說高維立方體的特徵是「尖尖的」。當我們增加維度時，邊角向外無限延伸，而邊角的中點距離中心保持0.5個單位，就像這樣：
這是不是很不可思議？我們有一個立方體和一個球的簡單和恆定的定義。具體來說，我們從一個完全在圓裡面的正方形開始，然後是一個完全在球裡面的立方體。但當我們進入更高維度空間的深淵，立方體不再完全在球裡面！
畫龍點睛
上面的圖像是有幫助的，因為它們有助於說明高維立方體的「尖峰性」，但它們也有誤導。顯然，他們只是試圖在二維空間中演示高維對象，所以他們從根本上是不準確的。然而，當我說他們誤導時，這並不是我真正想說的。我想讓你們思考一下這些高維立方體的「尖銳性」，即邊角突出在球的邊界之外，而其他點，尤其是邊線的中點，仍然在球的內部。如果你還沒有被這一觀察充分震撼，我將告訴你一些肯定能完成這項工作的事情。一個n維立方體內的每一個點都可以看到立方體內的每一個點，換句話說，你可以在n維立方體內任意兩點之間畫一條線段，整個線段都在立方體內。考慮一個二維或三維的立方體，這是清楚的。如果你在一個立方體形狀的房間裡，房間的任何部分都在視線之內，你可以投擲飛鏢，從房間內的任何一點擊中牆壁、地板或天花板上的任何一點。這適用於任何維度的個立方體！
我要求您調和n個立方體是「尖峰」 的事實，因為它們的角比其邊界上的最近點伸出中心的距離更遠（如上圖所示），但是每一對點可以通過完全落在立方體內的線連接，嘗試一下！
如果你像我一樣，你肯定會失敗，但僅僅是嘗試就會引起一種絕對的神秘感和奇蹟感。事實上，正是這種感覺，我們在追求，並不斷把我們帶回到更高維度空間的深淵。
總結並展望未來
在第一部分中，我們看到當我們進入更高維度時，球中隨機點的密度會發生什麼變化，今天，我們發現了超立方體的奇異的驚喜。接下來是什麼？我還沒有決定，但是更高維度的奇蹟的袋子是巨大而充實的。在那之前，我鼓勵你反思一下我們已經做過的事情，甚至自己去探索一下這片新的風景。我期待著我們的下一次旅程！