四維幾何
湖底其實無底，湖岸其實無岸；湖水既不覺得自己溼，也不覺得自己幹；對浪花本身而言，既無單數也無複數——正如維斯拉瓦·辛波斯卡所說，萬物靜默如謎。
科學事業是一項靜默而迷人的事業，通常自洽而和諧，形式簡潔優美，富有形式的美感。思維的世界裡沒有權威，沒有任何人可以剝奪你思想的樂趣，有很多科學家窮盡一生堅持研究，就是為了探尋這種未知而又突如其來的極大喜悅。
今天我們就來聊一聊幾何多維空間，從純幾何直覺到宇宙學研究，這個領域浸潤了人類的終極智慧。
追溯歷史，19世紀瑞士幾何學家Ludwig schläfli，最早理解純幾何多維空間的人，其最大成就在於科學地列出純幾何四維空間裡的所有六種規則多面體 。
在Ludwig看來，每一個完美的四維多面體都是思維的傑作，而三維投影卻破壞了人們對於它們的幾何完美形態的想像。
四維不是一件容易理解的概念。雖然Susskind更信賴全面嚴謹的解析數學工具來分析任意維度，但Ludwig根植於幾何學注重直覺和想像，卻也可以更加容易地理解四維。他認為，大概有三種方法來啟發這種幾何直覺：
想像三維物體穿越二維空間時的投影變化，我們就可以類推出四維物體穿過三維空間的情景：三維多面體慢慢出現，而後頂點和稜不斷互換改變形狀，最後消失——這種理解方式就被稱作截面法（section methods）。
結構複雜的四維超立方體600——它包含有120個頂點，720條邊，600個三維四面體和1200個二維三角形......，利用截面法觀察其穿過三維空間時投影的複雜結構變化，這變成了一項極具趣味的思維遊戲。
陰影法比截面法更容易理解——這是一種作畫的技巧，在二維畫布上表現包含三維物體的風景——即把物體投射到畫布上。
畫家可以在物體後面放置光源，觀察物體在畫布上的陰影。物體的陰影只能提供部分信息，但是如果一個人在光線前面轉動物體，並且觀察到陰影的變化方式，人們通常可以對物體有一個非常精確的概念——這就是透視的藝術。
想像一下我們想要表現的四維物體，它位於四維空間，一盞燈將它的影子投射到畫布上——四維的影子即三維結構。如果物體在四維空間中轉動，陰影（三維結構）就會變化，即使我們看不到這個四維物體，我們也會對它有個基本的概念！
最後來看平射投影。
再介紹平射投影的概念之前，我們要先了解一個核心問題：球體是什麼？
我們知道，為了定義一個球體，我們可以不失一般性地說，它由空間中的一組點組成，這些點都與一個稱為中心的點的距離相同。
平面（二維空間）中的球體是什麼？你一定會不假思索的回答：球是與中心距離相同的所有點的集合，在平面內，這被稱為——圓。沒錯，圓就是二維空間中的球體！——它顯然是一維的，因為一個數字就足以描述圓上的一個點的位置——比如角度。
接下來的問題稍微難一些了：一維空間裡的球體是什麼？
按照以上的一般性定義，顯然，同一直線上與給定點有相同距離的一組點。只有兩個，一個在左邊，另一個在右邊。也就是說，一維的球體只包含兩個點——你只需要將一般性的定義套用在一維的情況。在這裡，我們說它是0維的。
如果向高維度推演，類似地，三維空間中的球體是二維的，因為球上的任意一個點都可以用經度和緯度兩個參數來表達。同樣，四維空間中的球體是三維的，它在空間上的點的表達只需要三個參量——表達也「缺少」了一個維度。
總而言之：在n維空間中，球體的維數是n-1。對此，數學家使用符號Sn-1來表達。
Schläfli的直覺能做到的最好的努力，就是向我們展示一個球體S2，並鼓勵我們能夠像在4個維度中一樣繼續，想像球體S3的樣子。
平射投影是希帕丘斯（Hipparchus）最早提出的，如圖所示，平射投影的意思是將球體S2投影到通過南極極點的切面上。
在高維的世界裡，可以通過類比的方式，對S3用S2同樣的方式進行處理。
來看一個正方體，如果正方體6個面的每一個面都用一種顏色表達，隨著四方體膨脹為球體，當球體運動，平射投影后南極切面將被不同的顏色分割：
下面，有趣的事情發生了，我們嘗試將這個玩法升維到S3，取球面S3的南極的切面——這是一個三維空間。然後將S3的任意點（北極除外）投射到這個三維空間上。
投射線從北極極點延伸出無數條直線穿過球體上的點，直到與南極相切的三維空間相接——同S2球體類似，這件很難想像事情也同樣發生在4維的S3球體當中。
在Ludwig Schläfli看來，球在S3的切平面上滾動，然後投影，這樣我們就可以看到多面體的舞蹈——請注意，當球體的旋轉使多面體的一個面到達投影極切面時，其正對的面將有一個無限的投影——類似於S2投影的情形，我們將看到空間在屏幕當中爆炸。
事實上，同樣地膨脹四維多面體，使得四維多面體變成S3球體，並通過平射投影法得到三維空間裡的投影，這個三維空間就是四維物體將其立體投射到南極切面上產生的。
這可能需要一些時間來消化，畢竟四維空間很難想像。
因此我們可以適當偷換概念來理解，雖然四維空間很難想像，但由於我們已經生活在了一個四維時空，這個四維時空是三維空間+ー維時間構成的。不妨暫時先把時間當成長寬高xyz之外的空間w方向（第四個維度）處理，這比單純地思考第四空間維度更加簡單。
比如圓滾滾的一個橙子，xyz 空間下是我們最熟悉的一個近似球體，而它在 yzw空間裡，是一片橙子切片——形狀接近圓柱形。隨著w維度時間發展的變化——這個圓柱形的橘子將逐漸長大成熟並開始腐爛——這個w維度是獨立於橙子三維xyz空間的。
但這樣的偷換概念只是一個教學的簡化，要知道真正的四維空間是無法靠直覺來感知的。真正的理解還是要學習微分幾何，學習流形，降維可視化的工作，才真正地讓理解高維度不再抽象。著名物理學家Susskind如此說道：「人類的神經系統只能感知三維空間，不要試圖可視化任何除了3維以外的空間維度，我們要通過抽象的數學概念來理解，說過多少遍了！」
說到關於維度的科普，只要看到說它第四維是時間，或者看到它每個維度都要換一種講法的，都有可能脫離了科學的實踐，從而成了偽科普，每一個人都應該立即提高警惕。
科學是精確的，但科學的訓練卻是枯燥和冰冷的。但熱愛會消解這種敬畏，浪漫的情懷是溫潤的美酒，讓人在迷醉中偶遇「Eureka時刻」。專業的細節往往令人望而生畏，但科學的戲劇性不亞於任何一步小說，為什麼每次都要虛構出浪漫，卻不觸及真正的科學壯舉呢？
是的，純數學需要物理的陪襯，從而讓我們找到純粹的樂趣和生命的意義。
蟲洞與黑洞
四維幾何學只是一個開始，因為也有五維，六維的空間。。。甚至是無限維的空間！每個空間都有它自己的特性。
但必須說四維空間是最漂亮的——也許是因為它有一種物理上的真實性。在這一節，我們不去探求深刻的幾何基礎，而是去發掘幾何學基礎之上美妙的宇宙學框架。
空間的維度最初被認為是純粹的抽象概念，直到現代物理學充分利用了它——這就是相對論的世界。物理學家通過理解幾何維度，能夠可視化宇宙學上的概念——蟲洞，從而對廣義相對論有了更深的理解。
《星際穿越》是我最喜歡的一部電影，雖然電影虛構了星際穿越的故事，卻真實可視化了一系列迷人景象——有著深刻的數學支撐，比如透過土星附近的星際蟲洞看到的遙遠星系的樣子。
特效團隊給蟲洞另一端的出口加上了一個美麗的星系背景：這個星系有著漂亮的星雲，塵埃帶和恆星場，看上去動人心魄，這是電影中最壯麗的場面之一。
粉紅色的圓點是蟲洞的愛因斯坦環（Einstein ring）。愛因斯坦環是指一種由於光源發出的光線受到引力透鏡效應的影響，而使觀測所得的光源形狀改變呈環形的現象。
關於引力透鏡效應，雙重否定特效團隊協同著名物理學家基恩·索普打造了完美的可視化。
星際蟲洞的特寫鏡頭，可以看到愛因斯坦環旁邊的長條紋恆星是模擬相機視角下運動模糊的結果，恆星的透鏡圖像圍繞著蟲洞運行，從而造成了這裡看到的彎曲路徑。星空背景通過引力透鏡的作用被扭曲，同一發光體產生了多重像（稍後我們將重點談到這一點）——這為電影中穿越蟲洞時那種迷人的壓迫和敬畏感增添了藝術性。
但在嚴謹的物理學家看來，實際穿越蟲洞的體驗，將完全不同於電影的特效——這可能會非常短暫，並且沒有什麼新奇的視覺，並不如電影當中那般石破天驚。談及我的感受的話，我當然更喜歡長長的隧道內衝破時空帶來的感官超凡體驗——雖然這並不完全準確。
即便電影打造了蟲洞這一宇宙奇觀，但人類並不清楚蟲洞是否真的存在於宇宙當中——科學家既不能肯定也不能否定。
製造可穿行蟲洞，目前人類能想到的最好的辦法是：把它從量子泡沫 （如果存在的話 ）中提取出來 ，利用量子引力理論（理論仍在探索）將其放大到人類尺度，然後向蟲洞中添加奇異物質（人類也不甚了解）以保持這個蟲洞的連通。
然而，廣義相對論論是禁止我們在宇宙中打孔的 ，所以最後的希望就是尋找廣義相對論失效但量子引力統治的區域 ——可人類卻對此領域認知為零。
或許，超級發達的文明是創造出穩定的可穿行蟲洞的唯一希望了吧。
回到四維空間的話題，使用廣義相對論方程，還可以來追蹤光束在黑洞的巨大重力作用下彎曲和扭曲。
黑洞，是宇宙學當中另一個興趣點。黑洞也有無法被替代的美：光束會暫時被黑洞困住，在到觀測者之前會繞著洞轉很多圈。這些光束的橫截面在這個過程中被拉伸和擠壓，在小範圍內放大光亮，在星光中形成閃光的圖案；薄的吸積盤扭曲成伸展在黑洞上下的火彩虹。
黑洞通常被描繪成巨大的漏鬥，《星際穿越》當中，庫帕搭乘了四維超立方體，突破了宇宙膜的束縛進入了黑洞。
但在現實當中，人類被局限在宇宙膜上，我們是無法通過黑洞離開宇宙膜進入超體的。因此，我們無法看到黑洞周圍彎曲的時空——即漏鬥狀或漩渦狀的黑洞。
科學史上，《星際穿越》電影幕後團隊第一次為我們從視覺和感官上正確地呈現了黑洞的樣子——雖然它並沒有呈現在電影當中。
如果恆星場的前方有一個快速旋轉的黑洞，那麼你就會看到上面這幅圖景。
黑洞向其背後的星場投下了黑色的陰影，陰影邊緣有一道非常細的星光構成的火環，背景恆星發出的星光被黑洞扭曲的空間彎折——即引力透鏡效應。引力彎曲星光，產生了長弧狀的變形圖案。當光線經過黑洞陰影的左側時，前進方向恰好與黑洞的迴旋方向一致，空間的迴旋會給這些光線助力，使得它們更容易逃離黑洞。而經過黑洞右側的光線則需要額外的掙扎，以克服黑洞的迴旋。
因此經過黑洞陰影左側的光線相比右側，可以從更靠近視界的地方逃離——這就是左側陰影凹進去一些，右側凸出來一些的原因。
來自Alain Riazuelo的黑洞成像數值模擬，帶來了更多有趣的發現：對於靜止的黑洞，其後每顆恆星都有兩個像，兩個像總是處於黑洞的兩側，你能找到它們嘛？
不用費心找了，我們已經畫出來了——在黑洞無自旋的情況下，圖上標註了兩顆恆星，一顆在紅圈內，一顆在黃色菱形內，我們可以看到兩顆星的兩個像，一個在粉色圈內（次級像），一顆在粉色圈外（主像），而這個粉色圈就是愛因斯坦環。
隨著觀察者的移動，兩個像的移動方向也被標註在圖上。你能想清楚，為什麼恆星的像會像圖上描繪的那樣運動麼？
不同於靜止的情況，當黑洞高速自旋時，恆星的像流動的模式將變得更加複雜：
在黑洞周圍，恆星流動展現了兩個愛因斯坦環（粉色標記），在外愛因斯坦環之外，恆星移動方向與無自旋時方向一致。
不同之處在於，黑洞帶來迴旋的時空，讓星流聚集，在黑洞陰影邊緣的窄帶上產生高速運動；同時空間迴旋也產生了星流的漩渦（右側邊緣上閉合的紅圈）
每個恆星的次級像都出現在兩個愛因斯坦環之間，每個次級像的軌跡都是閉合的曲線（黃色閉合曲線）。並且，次級像的運動方向與外愛因斯坦環之外紅色標記的恆星流動方向相反。
對於一個無自旋的黑洞，次級像會從陰影中出現，最後回到陰影，這不是因為次級像的路徑不閉合——恰恰相反——其路徑是閉合的，但由於閉合曲線內側太靠近黑洞陰影邊緣，所以看不到而已。當黑洞開始自旋時，空間也跟著迴旋，因而內愛因斯坦環向外移動，從而顯現了次級像的全貌。
內愛因斯坦環之內的恆星流動模式將更加複雜：如果說宇宙中所有恆星的主像都在外愛因斯坦環之外，次級像在內外愛因斯坦環之間的話，那麼內愛因斯坦環之內匯集的就是所有恆星的三級像和更高級的像了。
在電影《星際穿越》當中，導演諾蘭堅持可視化黑洞周圍的吸積盤，這帶來了更強大的視覺衝擊，吸積盤本身在引力透鏡的作用下，被雙重否定團隊完美地展現出來（左上縮略圖表達的是沒有黑洞時吸積盤的樣子）。
黑洞的迴旋同樣影響了視覺，它將左側吸積盤的圖像推理陰影，將右側吸積盤的圖像拉近陰影，所以吸積盤看起來不太勻稱。
黑洞的細節總是令人著迷，電影製作者花費大量的功夫渲染出科學上準確的黑洞，但仍需完善：比如增加都卜勒效應，相對論性射束效應等等。
看到這裡，你是否有了新的疑問：看似離題的迷人宇宙奇觀背後，與幾何多維空間之間又有什麼關聯呢？
別急，這個關聯與從一個基本佯謬問題「夜空為什麼是黑的」推導出宇宙暴漲理論和暗物質猜想一樣令人驚奇，真正體現了科學思維的力量。
這個問題不如留給真正感興趣的愛好者來思考，在下一節當中，我們將把注意力轉向《星際穿越》，揭示出更多電影當中隱藏的科學彩蛋，探尋更過多維幾何與物理學之間的深刻關聯...
四維與五維時空
在四維空間當中，三維空間也叫三維膜。
「膜」的意思指無厚度，這個意思是說，三維空間是四維空間的一個切片。一個三維物體只有長寬高，而四維空間中還有一個與長寬高都不同的維度，不管這個三維物體如何在四維空間當中擺放，總有一個方向上它是沒有厚度的——這就像時間的流逝相對於三維空間是沒有厚度的。
如果我們將時間維度變成空間的維度，「四維時空」就會被「超體」的概念替代。這就是純四維空間的世界了，一個有趣的問題是：超體是真實的物理存在，還是我們想像出來的呢？
實話實說，20世界80年代之前，所有人都認為超體是虛構出來的。
怎麼會是虛構的呢？我們不是已經確定了宇宙空間是彎曲的嘛？——1977年「海盜號」發回的無線電信號，已經證實了我們的宇宙空間是彎曲的——無線電信號近距離經過太陽時，慢了幾百微秒。
難道，我們不是生活在超體裡面嘛？
從1984年開始，科學界的認知發生了改變。在發展量子引力理論的時候，人們越來越相信，超體是存在的。
這就是「超弦理論」。這個理論指出：超體的額外維度會以比較顯著的方式影響我們的宇宙膜。
儘管超弦理論指出的超體比我們的宇宙多了6個空間維度，但實際上，我們還是有理由懷疑，額外的維度的數目只有一個。電影《星際穿越》也是這樣構建的——只有一個額外的膜外維度，於是加上四維時空，變成了五維世界。
可以想像，一個五維（四個空間維度和一個時間維度）的超體生物穿過我們三維的宇宙膜時，會是什麼樣子——如果你還記得Ludwig為我們展示的截面法的話。
在物理的世界裡，原子只有三個空間維度，因此原子並不存在於四維世界中，亞原子粒子也是一樣的。電場，磁場以及束縛原子核的力都只存在於三維的世界裡。
世界上最聰明的那些物理學家一直在非常努力地理解這一點。而他們的研究成果也明確地指出了一個例外：人類所知的所有粒子，所有的力和所有的場都被限制在我們的宇宙膜當中。但有一個特例，這就是引力和伴隨引力的時空彎曲。
也就是說，超體世界中也許存在其它類型我們不知道的物質，場和力——他們具有四個空間維度的特徵。但即便它存在，我們也不得而知——除非我們可以感受和看到超體生物的引力以及由它引發的時空彎曲——因為引力可以不受我們三維宇宙膜的約束。
這個觀點可以帶來一個推論：如果超體真的存在，那麼它的空間必定是彎曲的——很簡單，如果它不彎曲，引力將與距離成立方反比關係，而不是平方反比。
弦理論認為，引力在高維空間內，與低維空間內一樣，都是用引力線來描述的。如果高維空間不彎曲，那麼太陽的引力線就會沿徑向發散到膜外維度。在這個假設下，地球受到太陽的引力將比現在小200倍，土星的引力會小2000倍，至於更外圍的其它行星，將脫離太陽飛向星際空間。
但這一切並沒有發生，這就說明，如果膜外空間存在，它必須是彎曲的——只有這樣，引力線才能被阻止進入膜外空間。
物理學家指出，如果高維空間的膜外維度是緊密地捲曲成圓筒狀的，那麼引力就不會向高維空間延伸的太遠——這時平方反比的引力定律仍然適用，但這個立論卻降低了五維生物出現的機率：
《星際穿越》當中，導演諾蘭就有意地忽視了膜外維度的捲曲。這是因為，捲曲會導致超體的體積受限，當庫帕搭乘超立方體在超體中旅行時，捲曲的高維空間遠沒有足夠的空間容得下他的超立方體。
另一個解決方案是1999年，普林斯頓和麻省理工研究者提出的膜外維度的反德西塔（AdS）彎曲。這種彎曲是由於「超體場」中的「量子漲落」引起的。
這個方案也有自己的問題：遇到了諾蘭同樣的困境——當向膜外維度運動時，平行於我們宇宙膜的距離尺度將極具縮減——這被稱作列級問題。這樣的尺度下，人類尺度的活動是容納不下的。
為了給庫帕提供足夠的活動空間，我們必須強制假設AdS彎曲被限定在平行於我們宇宙膜的薄薄兩層三明治中間（大約3mm）。在三明治之外的空間裡，超體完全不彎曲——這就是說AdS三明治必須要掰彎引力線，並讓引力線平行於我們的宇宙膜，這樣庫帕的冒險就有了舞臺——3mm的三明治麵包皮之外。
但在現實世界當中，但這個假設是及其不負責的，這會帶來兩個更大的問題：
在電影當中，諾蘭只能無視這兩個條件，從而構建出他的完美劇情。
《星際穿越》電影當中，布蘭德教授對引力異常表現出了超凡的興趣。布蘭德教授敏銳地意識到：只要他解答了墨菲發現的引力異常現象的原因，就會引發我們對引力理解的革命。
如果異常的引力得到解釋，在電影當中至少有兩個重要的意義：
使得蟲洞穩定聯通，星際穿越成為可能
保護我們的宇宙不被AdS膜摧毀
這兩個意義恰巧是導演諾蘭的故事得以合理闡述的基礎，在影片裡的布蘭德教授看來，能讓兩件事同時成立的解釋，只有一個東西：超體場
什麼是超體場？
實際上，物理學家們用「場」來描述那些在空間裡延伸，並對它碰到的事物施加一個力的物理量。我們知道很多我們生存的宇宙膜裡面的場的例子：電場，磁場，引力場等等。
超體場，就是五維超體宇宙中力線的集合。布蘭德教授並不知道這意味者什麼，但是他做了一番數學推斷，並認為：當超體場發生變化時，潮汐力（對，就是讓永恆號脫離Mann星球受到的力）會隨之變化——正是這個原因導致了影片裡出現的引力異常。
如果你仔細觀察，就會發現，這個答案已經出現在了電影裡的一面黑板上（16塊之一）。在影片中，布蘭德教授和墨菲一直都在努力地求解這個方程。
這個方程被稱作「作用量」（Action），教授把他的所有想法都融入了這個母方程，而其它15塊黑板則都是為了解釋這個方程含義而書寫的。
一個眾所周知的數學步驟就從這個作用量母方程開始，並推導出所有非量子化的物理定律——教授的母方程本質上就是所有非量子化的定律的源頭。
教授需要知道這個方程精確，正確的數學形式，從而可以正確預言引力異常，了解蟲洞如何聯通，宇宙引力常數如何被影響，如何讓太空殖民飛船離開地球，宇宙是如何被保護免於被AdS膜破壞等等，但是教授窮盡思考，卻並不知道如何得到這個解。
當教授推導這個方程時，他有兩個目的：
完善方程，得到此前推測的所有量的正確數學表達
利用方程，從公式推導出他想知道的一切定律
直到教授年事已高的時候，墨菲仍然在和他反覆求解：先給出一個猜想，計算結果，放棄猜想，並嘗試下一個...猜想一個接著一個，直到他們精疲力竭。第二天，他們又重新開始...
直到悲傷的一幕出現。
教授臨終前，說出了心裡的秘密：「我撒謊了，墨菲，我騙了你。」
這是令人心酸的一幕。墨菲由此知道教授自己已經意識到方程的某個地方是錯誤的——從一開始就知道。Mann星球上，Mann博士向教授的女兒說了一模一樣的話——這同樣令人心酸——Mann博士也早就知道了。
這個噩耗似乎預示著，墨菲和庫帕將天各一方永不相見。
然而墨菲此時並不知道，墨菲定律主導的世界並不甘於服從命運的安排——冥冥之中，她和教授並沒有白費力氣。教授的公式是對的，只不過——這只是一半的答案。而另一半——要靠她的父親去尋找——對，就在黑洞的裡面——那個四維超立方體當中。
諾蘭所構建的超立方體，這個玄幻的Ludwig式的世界，是諾蘭對四維超立方體的一個三維截面的獨特詮釋——即便你已經了解了什麼是超立方體，也依然會像庫帕一樣辨不清方向。
諾蘭力圖向觀眾解釋的，是超立方體自由地存在於超體空間當中，而我們的男主角，穿越了星際，藉助四維的超立方體，在其三維表面上的三維庫帕奇蹟般地穿越了四維超體空間。
庫帕是原子構成的，原子是由電力和核力結合而成的——這些力都只能存在於三維空間當中，因此，庫帕無法體驗超立方體當中的第四個維度——膜外維度。但這並不妨礙他搭乘超立方體遨遊四維超體空間。
正是由於這個膜外維度的尺度（電影當中的假設是1個天文單位——即日地距離）無法與膜內維度（100億光年）相媲美，要小得多，因此，超立方體能夠以更快的速度載著庫帕穿越宇宙，將其送回地球並停靠在墨菲的臥室旁邊。
當然，在電影當中，諾蘭還是向劇情妥協了，超立方體中的每一個臥室都是墨菲真實的臥室，不過只是在某一個特定時刻的臥室罷了。
此外，庫帕的移動速度能夠遠遠超越臥室延伸體中時間的流逝速度，因此，他可以在複雜的超立方體中隨意旅行，到達幾乎任意一個他想要去的臥室時間。
為了能夠最快到達墨菲臥室時間的未來，於是電影當中，我們看到庫帕沿著對角線移動。電影中不同房間時間流逝的速度也作出了精確的表達——你可以比較相鄰房間窗簾隨風飄動的速度來識別出細微的差異。
對於庫帕來說，當他不停地變換方向時，很像是在環繞這墨菲的臥室做運動。墨菲的影像一部分停留在墨菲的世界膜當中，透過門，被牆壁吸收；另一部分進入超立方體，通過相鄰的超立方體，進入庫帕的視線。
墨菲上下左右前後六個臥室，實際上是完全一樣的，只是他看到的角度不同。為了能看到其它時間維度上的臥室，諾蘭讓連接到庫帕的空間的相鄰臥室只覆蓋了1/9的表面（假定墨菲的房間是正立方體，庫帕的大廳變長被放大了3倍），再經過這樣的處理後，庫帕不但能夠看到同一個房間上下左右前後的六個表面，也能看到不同時間維度上墨菲的臥室。
諾蘭對於科學的嚴謹性和劇情的藝術化渲染的兼顧，達到了至臻完美的境界。
正如片中阿梅莉亞所說：「對他們（超體生物）來說，時間也許只是另一個物理存在的維度。對他們來說，過去也許只是一個他們能夠跋涉進入的峽谷，而未來是一座他們能夠攀登上的山峰。然而，對我們來說，並不是這樣，明白嗎？」
當庫帕在導演諾蘭所設計的超複雜超立方體內沿對角線遊走的時候，他一定能夠理解阿梅莉亞這段話的深刻含義，並且是以破壞性的方式來理解的——這可是親眼所見的穿梭過去和未來！
但庫帕並沒有回到過去——諾蘭電影的物理法則仍然是堅不可摧的：庫帕要麼永遠地呆在自己宇宙膜當中，要麼通過四維超體的一個三維截面，從我們宇宙膜的一個點到達另一個點——回到他年老的女兒的身邊。
雖然庫帕在超立方體內看到自己的宇宙膜的過去——但這是一個單向的傳遞，並存在信息屏障：即信息可以從墨菲向未來傳播到達庫帕的超立方體，但庫帕的信息卻不能向過去傳播到達墨菲那裡——只有引力信號可以沿著時間逆行，從庫帕傳遞到墨菲——那是他唯一的機會。
當然，庫帕抓住了這個珍貴的機會——當最終的量子數據被墨菲獲得時，黑洞裡面缺失的另一半信息終於補全。教授的作用量母方程得以精確求解，庫帕的任務完成，帶著他穿越超體的超立方體也開始關閉。
此時，庫帕再次看到了蟲洞。
在蟲洞裡，他看見「永恆號「正在第一次去往卡岡都亞黑洞的旅途上，在中途，他伸出手穿過第五維度，在引力的作用下觸碰了正在穿越蟲洞的阿梅莉亞。
阿梅莉亞以為是超體生物接觸了他——但實際上確是一個在迅速關閉的超立方體當中正在穿越超體的人類朋友——一個精疲力竭的，更老的庫帕而已。
可視化所揭示的前所未有的細節使得它被用作天體物理學研究的工具，帶給了我們對宇宙的新見解。
1916年的物理學面臨兩個截然不同的未來，兩種未來都要統一引力和引力之外的物理學：
一個是諾德斯特羅姆將牛頓的引力方程與麥克斯韋電磁力方程的統一，它簡單地添加了一個隱藏的空間維把電磁力變成五維幾何，麥克斯韋方程成為愛因斯坦方程的一個解；另一個就是愛因斯坦的廣義相對論。
1919年，愛因斯坦的最終勝出帶來了人類認知的深刻變革：時空沒有物質背景，時間和空間都是運動的場，是物質實體的相互作用而非物質本身。
相對論的力量恰恰在於以某種方式混合了四個維度，愛因斯坦的相對論始於二十世紀早期，假設時間和空間一種方式結合，進入一個四維時空——因此研究相對論需要熟知四維幾何學。
四維幾何學，比起相對論的發現足足早了五十年。數學與物理如此相互影響，令科學歷史學家痴迷不已。
如今，時空彎曲的三個方面：彎曲的空間，變慢並彎曲的時間，迴旋的空間，都可以用愛因斯坦的相對論物理定律推導出來。研究彎曲時空的細節時，物理學家可以利用數學工具推導出關於黑洞的一切——唯獨排除了奇點——因為對於奇點，我們需要利用量子引力來研究——而這門科學作為科學的皇冠，還遠沒有發展成熟。
愛因斯坦之後，今天的物理學已經開始假設存在維數為10或更高的空間，物理學的發展會延伸到無限維空間嗎？在我們闡述一步關於10維空間的大電影之前，會有一段時間去值得期待...
下一個偉大的跨步已經永遠的從我們現在已知的知識範疇中移開了，我們為之失眠的，應該是如《星際穿越》主人公所面對的那場漫長而孤獨的未知...
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