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數學是科學的先鋒。馬克思曾明確指出「一種科學只有在成功運用數學時，才算達到了真正完善的地步」。數學為科學研究提供了工具，數學推理為科學探索提供了研究方向。只有數學發展到更高水平，科學才能上升邁上新的理論體系。如在物理學領域，當數學發展水平處於歐幾裡得幾何學時期，科學研究只能建立在靜止力學的基礎上，對應的科學體系是託勒玫的「地心說」；牛頓發明了微積分，科學研究才可能在動態力學的基礎上進行，逐步建立了哥白尼—牛頓的科學體系；當數學發展到非歐幾裡德幾何學階段，愛因斯坦以發展演變的動態宇宙觀，用黎曼幾何推演，才發明了廣義相對論，建立了當今的愛因斯坦—霍金的科學體系。
黎曼幾何（Riemannian geometry）由德國數學家黎曼於1854創立，是對空間與幾何概念的深入研究，是所有幾何的基礎。黎曼幾何是愛因斯坦廣義相對論推演的重要數學工具，並因其影響而廣為傳播。如今，黎曼幾何學已廣泛用於數學、物理等各個領域。
黎曼幾何發展了空間的概念，黎曼提出了n維流形概念，他認為幾何學中的研究對象為「多重廣延量」，空間中的點可以用n個實數（x1, x2, …, xn）作為坐標進行表示。這種空間可以容納不同的度量關係，而我們所處的空間是一種三元延伸量的特例。在歐幾裡得空間中，超出了已知測量範圍的幾何學就要依靠物理學來研究。針對這一問題，黎曼提出了在無限小的意義下，基於無限鄰近點之間的距離仍然滿足勾股定理。由此，將高斯的思想進一步一般化，給出了黎曼度量的概念，用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量，而賦予黎曼度量的微分流形便為黎曼流形。經典微分幾何曲面論中的誘導度量束縛了幾何的發展，黎曼幾何學幫助數學家和物理學家擺脫了這一現狀，為近代數學和物理學的發展提供了幫助。
黎曼的研究是以高斯關於曲面的內蘊微分幾何為基礎，引入了流形曲率的概念，通過其可描述歐氏空間及更一般的空間，在所描述的空間中，圖形的形狀和大小不會因為其位置的變換而變化。在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是常曲率空間，對於三維空間，有以下三種情形：曲率恆等於零、曲率為負常數、曲率為正常數。前兩種情形分別對應歐幾裡得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形是一種非歐幾何學。因此，黎曼幾何認為在同一平面內任何兩條直線都有公共點。直線可以無限延長，但總的長度是有限的。
黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面，黎曼空間本質上是彎曲的。歐幾裡得幾何是黎曼幾何的特例（歐幾裡得幾何是彎曲為零的黎曼幾何）。與傳統空間不同，在黎曼空間裡，坐標線不一定是直的，坐標線之間不一定是互相垂直的，坐標線的尺規也不一定是單位1，可以每個地方都不同。由此經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系，就是如今狹義意義下的黎曼幾何，是曲率為正常數的幾何，也就是普通球面上的幾何，又叫球面幾何。
其後，黎曼幾何學進一步發展，克裡斯託費爾和利普希茨等解決了黎曼幾何中的一個基本問題——微分形式的等級問題；裡奇發展了張量分析方法，這一研究成果在廣義相對論中廣泛應用；霍普夫對黎曼空間微分結構與拓撲結構的關係進行了研究；嘉當開創並發展了外微分形式與活動標架法，建立了黎曼幾何與李群之間的聯繫。及至1915年，愛因斯坦在廣義相對論中運用黎曼幾何和張量分析工具，黎曼幾何的研究和應用更加廣泛。時至今日，科學家對黎曼幾何問題的研究還在不斷進行，從局部發展到整體，並結合多個學科，由此對現代數學和物理學的發展產生了巨大影響。
（責任編輯梁雨薇，主編李志民）