黎曼幾何簡介

2021-01-15 學知園學習中心


參考書：《黎曼幾何初步》 伍泓熙

              《Comparison theorem in Riemann Geometry》, Jeff Cheeger

寫在後面： 原本本文是用的Markdown nice 排版的， 但是在已經在markdown nice 中排版結束， 往 公眾號中複製的時候悲劇發生了。 不僅排版亂了，而且關鍵的是，還無法發表。 出於憤怒和無奈以及無可奈何，只能發PDF的圖片版了。 這是我自己翻譯的 cheeger 的 《Comparision theorem in Riemannian Geometry》。 以前讀書， 感覺自己學的並不仔細， 尤其在翻譯的過程中，才發現自己在讀書的時候忽略了很多細節，很多自以為自己已經懂得細節。  所以翻譯的過程，基本上是重新學習一遍的過程。 當然，重學一遍，收穫也是滿滿。 限於自己的英文水平，有些地方感覺無法用中文說明白， 還請各位見諒。 儘管原書不厚，但是我不知道自己能翻譯到哪，儘量堅持吧。 翻譯的初衷，就是希望自己的基礎更加牢固，來應對後續更高級課程的學習， 終於湊夠三百字了， 可以發個原創了。



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相關焦點

  • 閒聊黎曼幾何
    這些現象都超出了歐幾裡德幾何的範圍，需要黎曼幾何來解釋。古希臘數學家歐幾裡得所著的《幾何原本》中有五條公理。這五條公裡中有一條公理與眾不同，遠比其他的公理複雜，這就是著名的平行公理。正是數學家們對這一公理的懷疑，產生了著名的黎曼幾何。
  • 黎曼幾何丨平行線相交在這裡,黑洞誕生也在這裡
    歐氏幾何說，只能作一條；羅氏幾何說，至少可以作兩條（包括一組和無數）。黎曼慢悠悠地反問：誰知道平行線相交還是不相交呢？「平行線公理」的世紀之爭，最終終結於黎曼。黎曼提出：過直線外一點，一條平行線也作不出來。（這是人話嗎？）
  • 【主編講堂】現代自然科學重要概念連載五——黎曼幾何
    黎曼幾何（Riemannian geometry）由德國數學家黎曼於1854創立，是對空間與幾何概念的深入研究，是所有幾何的基礎。黎曼幾何是愛因斯坦廣義相對論推演的重要數學工具，並因其影響而廣為傳播。如今，黎曼幾何學已廣泛用於數學、物理等各個領域。
  • 劉若川:解析黎曼幾何 我們生活的世界是四維的
    在數學研討會上，北京國際數學研究中心副教授劉若川發表了題為《黎曼與黎曼假設》的演講。　　劉若川首先提到了千禧年七大數學問題，第一，P和NP問題；第二，霍奇猜想；第三，龐加萊猜想；第四，黎曼假設；第五，楊-米爾斯方程；第六，納維-斯託克斯方程；第七，BSD猜想。
  • 黎曼幾何是怎麼產生的,為什麼廣義相對論會選擇它
    三天後，格羅斯曼建議愛因斯坦看一下黎曼幾何和張量分析。愛因斯坦希望他的理論的所有量都是張量，這樣的話在進行坐標變換時只需進行張量關係的變換就可以保持方程形式的不變，這非常適合廣義相對性原理。由於張量不是今天的主題，我們就此打住。歐幾裡得的《幾何原本》有很多公理，其中有一條就是「過直線外的一點可以引一條直線與原直線平行，並且只能引一條」。
  • 平行線及相關的數學發展---不存在平行線:黎曼幾何
    黎曼幾何現在，假定我們可知的空間範圍是無限的，但是有界的。這個命題似乎是令人費解的，可是想到地球表面就可以理解了：一個人只要能爬得了山涉得了水，他就可以在地球表面無限制地走下去，但是地球的大小是有限的。這個命題又是極為重要的，因為它是構成愛因斯坦廣義相對論幾何空間的思想基礎。
  • 「黎曼幾何」與「狹義相對論」的相遇,驚豔了整個人類的現代文明
    彼時，數學中的「黎曼幾何」無人賞識，物理中的「狹義相對論」遭遇瓶頸，人類文明的進程來到了最為關鍵的十字路口，就在那一刻，人類史上具有劃時代意義的兩門學科相遇了。這一場相遇，人類文明迎來了又一個生機勃勃的春天。這到底是怎樣一次令人驚豔的相遇呢？還得從來自於遙遠的古希臘的史詩級巨著《幾何原本》說起。
  • 「黎曼幾何」證明了高維空間的存在,高維空間的生物長什麼樣子?
    但隨著人類對空間維度的思考，歐幾裡得幾何似乎不適合高維度空間的探索，因此黎曼提出了「黎曼幾何」，該理論在數學上證明了高維空間是存在的，那麼是否也存在高維生物呢？在中學的數學課本中我們曾經認識一位古希臘的數學家，他被譽為「幾何之父」，他就是歐幾裡得。他所撰寫的《幾何原本》被認為是歐洲數學發展的基礎，我們在數學課本上學到的關於圓錐曲線的內容幾乎都是他提出來的。
  • 贈書 除了微分幾何 黎曼幾何 代數幾何 還學什麼幾何?
    最近在思考的問題，當我們談論幾何，我們在談論什麼？「辛幾何，復幾何，代數幾何，計算幾何，離散幾何，代數曲線曲面，拓撲，幾何分析，巴拿赫空間上的幾何，非交換幾何，微分流形，黎曼幾何，非交換幾何，羅巴切夫斯基幾何，歐式幾何，算術幾何，微分幾何·····」我的身邊充滿了幾何的名詞，也充滿的熱愛幾何的學者：葉中豪老師，閆偉鋒老師，張甲老師，劉小平老師，李少龍老師，張明明老師···和一群熱愛幾何的人結識
  • 一個破事說明,《黎曼幾何》的序言
    然後看到有些網友問我考研復旦的建議，奇妙深刻的是13/15的人都是志願學代數幾何的，感覺還是要回復一下的。我個人首先表示巨大佩服，但還是建議先多看看書知道代數幾何是怎麼一回事再決定方向！！沒資源來不了課的話，其實問題並不大。北復清科華師以及其他學校的暑校很多改成了網課而且免費申請的。有志於代數幾何的可以自己留心一下。
  • 黎曼幾何上是無懈可擊?
    黎曼幾何科學家hade林曼證明了《論幾何基礎的假設》中存在高維度，他認為高維度存在於世界上，只有在我們目前的科學水平上，我們無法看到和交流高維度。換句話說，如果一個四維生物真的存在於我們的空間，那麼他就是一個我們看不見的無形物體。
  • 狄利克雷函數與黎曼函數簡介(高等數學入門系列拓展閱讀)
    系列簡介：這個系列文章講解高等數學的基礎內容，注重學習方法的培養，對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋。
  • 德國天才數學家——黎曼
    德國天才數學家——黎曼2、主要貢獻：現代解析數論的奠基者，組合拓撲學的開創者，黎曼幾何的創立者。創造了如黎曼函數、黎曼積分、黎曼引理、黎曼流形、黎曼映照定理、黎曼-希爾伯特問題、黎曼思路迴環矩陣、黎曼曲面等。3、1840年黎曼進入中學學習，自學了瑞士數學家歐拉、法國數學家勒讓德等人的數學著作，用6天時間系統研究了勒讓德的名著《數論》。
  • 黎曼:數學家、物理學家
    由於從小酷愛數學，黎曼在學習哲學和神學的同時也聽些數學課。黎曼被這裡的數學教學和數學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數學。    1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。
  • 黎曼成就一覽
    2.對多值函數定義黎曼曲面.3.黎曼曲面的拓撲(黎曼是第一個研究曲面拓撲的人，他引進橫剖線的方法來研究曲面的連通性質).4.黎曼曲面上的函數論(黎曼研究的基本問題是黎曼曲面上函數的存在性及唯一性問題.他比以前數學家的先進之處在於，函數的存在不必通過構造出解析表達式來證明，黎曼可以通過其奇點來定義，這對後世數學有重要影響.).
  • 黎曼幾何真的無懈可擊?
    黎曼幾何可是科學家哈德林曼在《論幾何基礎的假設》當中便證明了高維度的存在，他認為高維度是存在於世界上的，只是以我們現在的科學水平是看不到高維度的生物，也無法與其交流。也就是說，如果四維生物真的存在我們的空間當中，那麼它就是一個隱形物體，我們無法看到。
  • 如何自學黎曼幾何?
    黎曼幾何是用微積分作為工具在數學空間裡研究幾何的理論，所以沒有這兩項基礎，基本上就只能和黎曼幾何拜拜了。雅可比(Jacobi) 矩陣，就是偏導數組成的：（偏導數關聯微積分、矩陣關聯線性代數）。這兩門課程，在國內算是比較成熟的，大多數理工科專業的學生可能都學過。而且這兩門教材也比較好找，基本上正常的大學教材都能用。
  • 黎曼幾何證明了高維空間的存在,高維空間是否會存在另一種生命?
    不過，因為歐幾裡得定律一般都是只適用於三維空間的立體物身上的，而四維空間裡的物體並不能被準確計算，所以，雖然黎曼幾何證實了高維空間的存在，但是究竟真相是不是如同我們認知的那樣，我們還不能完全知曉。宇宙中高維空間的存在已經通過黎曼幾何被從理論上所證實了，科學家們下一步就是需要找到更多相符的證據。按照黎曼幾何的說法，其實三維空間裡面的我們是可以想像高維空間，並且進行了解的，不過如果真的想要試圖突破維度的邊界，則很難辦到。相信未來隨著科學技術的發展，人類的文明進入到一個新的階段的時候，我們也能真正去了解四維空間。
  • 黎曼猜想被證明了?很可能只是逗大家玩-數學,黎曼猜想 ——快科技...
    黎曼函數和黎曼猜想簡介大家這幾天應該被動惡補了不少黎曼函數和黎曼猜想的介紹了，這裡還是不厭其煩地再簡單說下。首先有無窮級數 ζ(s) ：黎曼在當時也是領先於時代的數學家，以致於他的論文發表後，當時的許多數學家連他提出的命題一和二都認為只是黎曼的單方面幻想（黎曼在文中則是由非常肯定的語氣提出的）。由於黎曼猜想的難度之高，數學界做出進展的速度極為遲緩，甚至有觀點認為「如果黎曼是錯的，我們的日子反倒會好過一些」。
  • 最具獨創精神的數學家——黎曼
    10歲時他跟一位職業教師學習高級算術和幾何，很快便超過了老師，常常對一些問題能做出更好的答案。黎曼14歲時到漢諾瓦市上中學。由於經濟拮据，他總是靠步行奔波於漢諾瓦市與鄉間小村莊之間。當然他更沒錢去買參考書。幸運的是中學校長及時地發現了他的數學才能，考慮到他經濟上的困難，校長特許黎曼可以從自己私人藏書室裡借閱數學書籍。