三等分角,阿基米德:尺規作圖不可能?

2021-03-01 夢溪筆談math

相信大家都了解過尺規作圖吧，何謂尺規作圖呢？尺規作圖在數學的學習上有什麼作用呢？

簡單來收，尺規作圖就是只使用直尺和圓規，並且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。

這裡的「直尺」和「圓規」 跟現實中的並非完全相同，具有抽象意義。

直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度。

圓規可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。




anny：sunny，二等分任意角的做法已然瞭然於胸，我們一起來嘗試三等分任意角呀？

sunny：哈哈，我可不會三等分任意角，我們一起來問一下阿基米德大學士吧

作法如圖∠ACB為已給角.取CA = r為半徑, C為圓心作半圓.用有刻度的直尺過B作直線交直徑AC的延長線於O,半圓於P,並使OP = r

則∠POA=1/3∠ACB. 

證明:由作法知，∠BPC=2∠POA，∠ACB=∠POA+∠BPC=3∠POA.

證畢。



  阿基米德：當然沒有，我的解法雖然做出了要求角，但解法已經脫離了尺規作圖的要求（使用了有刻度的直尺），這並不是完美的答案。

    anny：連大學士都做不出來，那究竟三等分任意角的尺規作圖有沒有可能完成呢？


  三等分角就相當於在單位圓上求做一定長度（x=cosθ)的線段，利用三角函數，把線段長度表示出來。事實上，可以得到

cos(3θ) = 4 cos³θ - 3 cosθ

其中已知cos(3θ)，從而就相當於用解三次方程（用尺規做出三次方程的實根）

4 x^3 - 3x -3 θ= 0

   事實上，尺規作圖只能作圓（二次方程）和直線（一次方程）的交點，從而解都在Q的二次擴域上。


現代數學證明，三等分任意角的尺規作圖是不可能的喲！！！

與三等分角同樣，「化圓為方」，「被立方體」都是尺規作圖不可能完成的問題，一起並稱「三大尺規作圖不可能問題」。

圓錐曲線法三等分角

阿基米德螺線法三等分角

蚌線法三等分角

雙曲線法三等分角

……

1.《幾何瑰寶 平面幾何500名題暨1000條定理 下》 沉文選，楊清桃編著

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