一點通 | 異想天開,打破不可能——「化圓為方」的絕招

2021-02-23 新華網科普

數學蘊含著千千萬萬的奧秘，聽到「化圓為方」這個詞，你是不是一頭霧水呢？首先，我們來了解一下什麼是「化圓為方」：「化圓為方」是古希臘數學尺規作圖領域中的命題，它與「三等分角」、「倍立方問題」並列為尺規作圖三大難題。「化圓為方」要解決的問題是：求一個正方形，使其面積等於一給定圓的面積。

「化圓為方」的難度在於作圖時所使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只能使用直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規。希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等著名的研究者研究這一問題。

直到德國數學家林德曼在1882年解決了一個關於π的重要問題時，證明了π是一個「超越」數，即π不可能是代數方程（一個僅含x的指數項的方程）的解。通過解決這個難題，林德曼給出了「化圓為方」這一問題的結論，此問題為: 給定一個圓，如何利用一對圓規和直尺，構造一個和它面積一樣的正方形。林德曼最後證明了，這個問題是不可能做到的。因此，「化圓為方」問題僅用直尺和圓規是無法完成的。

既然尺規作圖解決不了「化圓為方」的問題，那有什麼方法可以解決呢？歐洲文藝復興時期，義大利數學家達文西發現，若不受標尺的限制，解決「化圓為方」這一問題並非難事，即可以通過特殊的曲線來完成。用已知圓為底，圓半徑的1/2為高的圓柱，在平面上滾動一周，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，如圖：

圓的半徑為r，大家都知道圓的面積為S=πr²，圓的周長為C=2πr。矩形的面積為S=長×寬。而利用達文西的方法所得到的矩形的長度為已知圓的周長2πr，寬為r/2，計算得出矩形的面積為S=r/2×2πr=πr²，也就是圓的面積，再將矩形化為等積的正方形即可。這樣，「化圓為方」的問題就很好地解決了。

通過「化圓為方」的解決，我們不僅能學到數學知識，更要明白所有問題的解決辦法並不只有一條，要從多方面多角度去看問題、分析問題和解決問題。

作者：張潤清

本作品為「科普中國-科學原理一點通」原創

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