尺規作圖中三大難題

2021-03-01 數學加油吧

尺規作圖起源於古希臘的數學課題，是指只使用圓規和直尺，並且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題（⬅戳此查看）。

尺規作圖使用的直尺和圓規帶有想像性質，跟現實中的並非完全相同：

直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側；只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度。圓規可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度；它只可以拉開成之前構造過的長度。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：

學過了尺規作圖，接下來卓易君帶領大家探索三個古希臘古典尺規作圖問題——立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。

能否用尺規作圖的方法作出一立方體的稜長，使該立方體的體積等於一給定立方體的兩倍？

倍立方問題的實質是能否通過尺規作圖從單位長度出發作出的問題。

公元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法，正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的：以已知角的頂點為圓心，用適當的半徑作弧交角兩的兩邊得兩個交點，再分別以這兩點為圓心，用一個適當的長作半徑畫弧，這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。

二等分一個已知角這麼容易，很自然地會把問題略變一下：三等分怎麼樣呢？

給定一個圓，是否能夠於有限次內作出一個正方形，使得它的面積等於圓的面積？

如果將圓的半徑定為單位長度，則化圓為方問題的實質是作出長度為單位長度倍的線段。


當時很多有名的希臘數學家，都曾著力於研究這三大問題，雖然藉助於其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由於尺規作圖的限制，卻一直未能如願以償。以後兩千年來，無數數學家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終。

直到1637年笛卡爾創立了解析幾何，關於尺規作圖的可能性問題才有了準則。1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬於尺規作圖不可能問題；1882年林德曼證明了π是超越數，化圓為方問題不可能用尺規作圖解決，這才結束了歷時兩千年的數學難題公案。

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