從伽羅瓦到諾特,看抽象代數的誕生與發展

抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科。是現代數學理論三大支柱之一，抽象代數學對於全部現代數學和一些其它科學領域都有重要的影響。並且隨著數學中各分支理論的發展和應用需要而得到不斷的發展。

今天我們就來聊聊抽象代數的發展史。

伽羅瓦理論——抽象代數的誕生

伽羅瓦於1811年出生， 16 歲時候才接觸數學，他在一年的時間裡，自學了法國著名數學家勒讓德爾的《幾何原理》、那末拉克朗日的《論數值方程解法》、《解析函數論》、《函數演算講義》，還逐漸熟悉了歐拉、高斯、雅科比的著作。

影視作品裡的伽羅瓦

後來，他曾經多次向科學院投稿，然而柯西遺漏了他的論文、傅立葉接到論文之後暴斃、泊松直接看不懂。

經歷三次挫折的伽羅瓦投身政治，抗議國王的專制統治，以「企圖暗殺國王罪」不幸被捕在獄中，更加不幸的是，在監獄裡他還染上了霍亂。

電影中的伽羅瓦形象

剛出獄的伽羅瓦想把自己的數學成果發表，又被人陷害再次入獄。

這個時候他在監獄裡愛上了一個煙花女子，偏偏這個煙花女子的情敵還是一個軍官，伽羅瓦為了心上人答應了和情敵比槍。。。

伽羅瓦畫像

1832年5月30日晚上，第二天將要去決鬥的伽羅瓦知道自己必死無疑，他想要將自己短暫一生的研究成果都給記錄下來，據說遺稿空白處還寫著「我沒有時間了，我沒有時間了。。。」。

伽羅瓦手稿

第二天，伽羅瓦在決鬥中一槍被軍官直接被打穿了腸子。他的朋友 Chevalier 遵照伽羅瓦的遺願，將他的數學遺稿寄給高斯與雅科比，但是都石沉大海。

直到10年之後，法國著名數學家劉維爾看到了伽羅瓦的手稿，經過嚴密計算，最終肯定伽羅瓦結果之正確、獨創與深邃，他還花了很久的時間對其進行闡釋說明，1846年最後將其發表在極具有影響力的《純粹與應用數學雜誌》上，並向數學界推薦。

劉維爾

由此，伽羅瓦這份手稿上的「伽羅瓦群理論」才得以在數學界大放異彩。「伽羅瓦群理論」中最華彩的部分就是天才般地提出了「群論」這個概念。

伽羅瓦手稿

伽羅瓦理論本來是為了區分五次方程能夠求解的和不能求解的多項式，它的革命性在於其洞察到了多項式的解的對稱性可以由多項式本身觀察到而不必求解，而這一對稱性本身完全決定了其解是否存在根號表達式。所以為了描述對稱性，他引進了群的想法。

一般說來，群指的是滿足以下四個條件的一組元素的集合：（1）封閉性 （2）結合律成立 （3）單位元存在 （4）逆元存在。

伽羅瓦群理論解決了一般高於四次的代數方程能否用根式求解的問題，而且還建立了具體數字代數方程可用根式解的判別準則。

而且利用伽羅瓦群理論更是一舉解決了 2000 多年懸而未決的幾何學三大難題。這三大難題分別是：

三等分角問題：將任一個給定的角三等分。

倍立方體問題：求作一個正方體的稜長，使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。

化圓為方問題：求作一個正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。

總結而言伽羅瓦理論群提出了解決這一類問題的系統理論和方法，開闢了全新的研究領域，擺脫了古典代數學利用符號代替具體數學進行計算的特點。

它以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，因而伽羅瓦群理論成為了近世抽象代數的基礎。

諾特讓抽象代數正式成為了一門學科

伽羅瓦之後，很長時間裡，人們只停留於研究具體的群，也就是也就是變換群。由把方程的根互相置換的所有置換組成的置換群，或者是把圖形變到它自身的那些變換組成的變換群。

而能不能把各種具體的群的共同特徵抽象出來或者能不能不管群的元素具體的特徵，而只考慮抽象元素構成的群，正如古典代數學利用抽象符號代替具體的數字只考慮滿足數的運算規則，抽象代數也要完成向研究抽象群理論方向發展的轉變。

哈密頓推演出更有一般性的幾類代數，凱利設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數(也叫近世代數)的大門。

克羅內克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；戴德金開始使用「體」的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；戴德金和羅內克創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體系的研究。

戴德金對諾特影響很大

他們基本上完成了抽象群理論的構建工作，但是並沒有形成完整的理論體系，而真正讓抽象代數發展成為一門學科，則要得到諾特。諾特是歷史上最偉大的女數學家，她憑藉著一己之力創建了完整的實數理論體系。

1920年，她已將「左模」、「右模」的概念引入抽象代數體系。1921年諾特寫出的《整環的理想理論》是抽象代數發展的裡程碑。愛米·諾特引進了抽象的理想概念。她通過具體環的實例的考察，抽象出來其共同特徵，研究其中最重要一類環，即每個理想都滿足升鏈條件。後來這種環稱為諾特環。

諾特用這種公理定義的環推廣了多項式環的準素分解定理,即任何理想是準素理想的交。她不僅推廣以前的結果，更重要是抽象公理方法取得首次偉大勝利。

交換環論還必需對於代數數論的結果做出自己的回答。愛米.諾特在1925年用五條公理來刻劃一類包含代數整數環在內的環，她稱之為五公理環，後來人們改稱之為戴德金環。她證明對於這類抽象的環，戴德金證明的理想唯一分解為素理想的乘積的定理也成立。

1926年諾特發表《代數數域及代數函數域的理想理論的抽象構造》，這篇文章標誌著抽象代數這門學科的真正創立。

抽象代數

諾特通過給戴德金環一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現代數學中的「環」和「理想」的系統理論。

從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分布，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變。

簡單總結來說，諾特從不同領域的相似現象出發，把不同的對象加以抽象化、公理化，然後用統一的方法加以處理，徹底改變了環、域和代數的理論，構建了完整的抽象代數理論體系。

後人就在諾特的開墾的這塊新的莊園裡不斷培育新的果實。

抽象代數的影響與作用

總結而言，抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科。由於代數可處理實數與複數以外的物集，例如向量、矩陣超數、變換等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數學家將個別的演算經由抽象手法把共有的內容升華出來，並因此而達到更高層次，這就誕生了抽象代數。

現代數學時期是指由20世紀40年代至今，這一時期數學主要研究的是最一般的數量關係和空間形式，數和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。

而抽象代數、拓撲學、泛函分析構建了整個現代數學科學的主體部分。抽象代數不僅是現代數學的重要基礎，在計算機、信息、與通信、物理、化學等領域有廣泛的應用。

從諾特之後，1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的布爾代數;第二次世界大戰後，出現了各種代數系統的理論還出現了布爾巴基學派; 1955 年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。 到現在為止，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，其中最主要的如若爾當和李代數就是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。

布爾巴基學派小組

可以說，抽象代數的誕生過程中湧現了許多的數學家如伽羅瓦、戴德金、施坦尼茨、嘉當等，催生了許多的數學理論，如群論、環論、格論等，也，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。