無限風光在險峰 ——讀《代數方程的根式解及伽羅瓦理論(第2版)》

2021-02-23 好玩的數學

網上有對伽羅瓦理論的評價：「系統地發展了用群論取代計算的奇思妙想，創造了美妙至極的伽羅瓦理論……它不僅輕鬆地解決了五次以上方程式沒有根式解的曠古難題，還同時解決了尺規三等分角，倍方問題等千年難題。」【2】這種四兩撥千斤的巧妙是如何得到的？讓人忍不住一探究竟。但是國內介紹和伽羅瓦理論的資料非常的少見，即使有，也深深的隱藏在高等代數的專業書籍中，常人難窺一二。而這本《代數方程的根式解及伽羅瓦理論》是伽羅瓦理論難得的「引路人」。

此書的作者謝彥麟是數學工作者，但是主業在分析而不在代數。在退休後重拾少年時的興趣，花了一年半專攻代數方程根式解和伽瓦羅理論。在我看來，作者的身份很妙：一方面，他是數學工作者，在基本功和邏輯思維方面不用質疑，不會陷入數學愛好者因基本功不紮實或思維不嚴謹導致的錯誤。另一方面，他的專業又不是代數，可以說是代數的「門外漢」，他遇到的問題踩到的坑也是其他人容易遇到的。一個有數學素養的人帶著學習，有種戶外活動有資深驢友帶隊的輕鬆感。

雖然有人「帶路」，但是「爬山」的過程並不輕鬆，這座山可是層巒聳翠、奇峰羅列。書從排列和置換開始，引入數域，進入伽瓦羅群，直到代數方程的根式解的判定準則，最後給出尺規作圖的可能性，五次以上方程求根公式存在性等實際應用。各個部分不僅前後呼應，還自成一體，沒有點愚公移山的毅力還真不行。本書優點是結構清晰，證明過程詳細，並且附有大量的例子幫助理解。但是缺點也比較明顯：全書沒有導讀，沒有說明章節之間的關係，只能硬著頭皮一點點往前走；各章節開頭沒引言，末尾沒結論，不知道重點，沒有「捷徑」。可能作者目的在於告訴讀者：不要問為什麼，跟著來就好。

談談其他：整本書只有4份參考文獻，可以說此書是作者「精讀」的產物。華羅庚曾說「先把書讀厚,再把書讀薄」。作者充分踐行了這個學習方法，並把學習心得集結成冊。作者是退休之後才開始學習，是一位老人對自己感興趣的理論的解悟。「著書養老」是件有意思的事情，由人到己，我們在退休之後也能象作者一樣，靜下心來做點什麼麼？

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    伽羅瓦理論——抽象代數的誕生伽羅瓦於1811年出生， 16 歲時候才接觸數學，他在一年的時間裡，自學了法國著名數學家勒讓德爾的《幾何原理》、那末拉克朗日的《論數值方程解法》、《解析函數論》、《函數演算講義》，還逐漸熟悉了歐拉、高斯、雅科比的著作。
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    一個十幾歲解決了困擾了數學界幾百年的n次方程根式解存在問題的男孩，一篇包括柯西在內的歐洲數學家都沒有看懂的論文，一個投身於狂熱的政治運動、又為了心愛的姑娘和專業的軍人參加近乎是自殺的決鬥的天才。伽羅瓦的一生，就像他群論和域論交替出現的伽羅瓦理論一樣，瑰麗多彩。
  • 數學大師啟示錄——伽羅瓦
    伽羅瓦看到，他的使命將不再是尋求高次方程的一般解法，而是證明五次以上方程一般代數求解的不可能性。怎樣著手證明?拉格朗日說，置換理論是"整個問題的真諦"。對五次以上方程，根的置換內涵什麼規律決定它們一般不能用根式解?這個問題顯然新奇而又艱難。
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    方程求解中的難題方程論是古典代數的中心課題。
  • ​190年前的靈光閃現，伽羅瓦理論究竟想幹什麼？
    伽羅瓦理論是現代數學的主要發端之一。當天才少年用自創理論解決了代數方程的懸案，人們才逐漸意識到數學結構本身所隱含的對稱性和抽象關係竟然具有如此強大的威力。通過後繼者對高階抽象和邏輯結構關係的不斷探索，如今數學大廈不僅縱向高聳入雲而且橫向相互支撐順暢貫通。
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    前者從理論和技術上是完全可以攻破的，而後者是有條件的，所以網絡安全的核心仍將長期建立在密碼學基礎之上。橢圓曲線密碼體制(ECC: Elliptic Curve Cryptosystem)的安全性依賴於橢圓曲線離散對數問題，是目前已知的公鑰體制中強度最高的加密機制。
  • 從「一元五次方程」到「群論」的艱辛歷程,那是一首悲壯的史詩
    1824年，阿貝爾將他這篇生命中最為重要的研究成果寫成論文《一元五次方程沒有代數一般解》，寄給了當時的數學權威高斯，可惜並沒有得到高斯的回覆。後來他又寄給科學院秘書傅立葉，這位大數學家由於工作實在是太忙，只是匆匆地讀了論文的引言，便交給了大數學家柯西審查，結果柯西將論文帶回家中之後，競然弄丟了。
  • 伽羅瓦之死
    在伽羅瓦死後的十幾年裡，他的數學成果一直被埋沒，直到另一個法國數學家劉維爾從故紙堆中發現了伽羅瓦理論金子般的光芒，從而讓這般獨步天下而極其深邃的理論公之於世。      經過兩百年的發展，伽羅瓦理論已經發展成近世代數（又叫抽象代數）的一個數學分支，其應用拓展到了拓撲、微分幾何、混沌等前沿數學研究領域和物理、化學等眾多科學領域，成為了現代科學研究的重要基礎工具。1995年，英國數學家安德魯·懷爾斯證明費馬大定理（當整數n >2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解）的時候，就主要應用了伽羅瓦理論。
  • 這個無解的方程，拉開了現代數學的帷幕
    另一種不同角度的觀點則認為，伽羅瓦群（基本群）完全決定了一類特殊的幾何對象，這是格羅滕迪克提出的 anabelian 理論。而在代數數論中，伽羅瓦群是最核心的對象，它與「表示論」的融合則是另一個現代數學的宏偉建築——朗蘭茲綱領的夢想，其與上面提到的 Motive 理論也是有機結合在一起的，它們共同構成了我們稱之為算術幾何領域中壯闊的綱領藍圖。五次方程：有沒有求根公式？
  • 張賢科經典作品推薦,《高等代數學(第2版)》最受讀者歡迎
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  • 科學網—中法學者追憶數學天才伽羅瓦
    本報訊（記者魯偉攝影報導）「伽羅瓦雖然英年早逝
  • 伽羅瓦究竟有多牛快進來膜拜吧
    有人16歲才接觸數學，17歲自學包括拉格朗日，歐拉，18歲解決了代數方程根式解的存在性的千古難題，之後又順勢創立了一個新的數學分支，但21歲卻死於決鬥，你敢相信嗎？相信大多數人都不敢相信，這份經歷，恐怕連小說都不敢這麼寫吧，還真的有，他就是伽羅瓦，伽羅瓦的名氣很大。
  • 這個無解的方程,拉開了現代數學的帷幕(9k字)
    儘管這位稀有的天才最終沉痾纏身，因病去世，他的論文卻成功揭示了高次方程與低次方程的不同，證明了五次代數方程通用的求根公式是不存在的。阿貝爾的這一證明使數學從此掙脫了方程求解和根式通解的思想束縛，顛覆性地提出，一個通過方程係數的加減乘除和開方來統一表達的根式，並不能用來求解一般的五次方程。可如何區分、判定哪些方程的解可以用簡單的代數公式(係數根式)來表達，哪些方程又不能呢？
  • 跨越1000餘年的一元代數方程求解,2、3、4次均存在根式解
    接下來的介紹的是一元二次、三次、四次方程的代數解，然而這三類方程的求解問題，卻跨越了1000多年，然而對於五次及更高次代數方程的求解，我們放棄了根式解的尋找一元二次方程古希臘時期，對一元二次方程的求解問題，主要是從幾何的角度考慮。
  • 伽羅瓦:原諒我一生不羈愛自由
    他叫伽羅瓦。他開創了新型學科——抽象代數，並為未來計算機理論打下基礎，這有多厲害那，用伽羅瓦思想解決了告辭方程根式解問題。這個問題拉格朗日（就是那個提出拉格朗日點的那個）驚嘆：「高次方程的根式解是不可能解決的數學問題之一，這是在向人類的智慧挑戰！」
  • 關於伽羅瓦的記憶
    他在 1831 年向巴黎科學院遞交了一篇題為《關於用根式解方程的可解性條件》的論文，儘管方法獨特，立論新穎（方程群），但在數學家西蒙·丹尼斯·泊松和西爾韋斯特·弗朗索瓦·拉克魯瓦評審後遭到拒絕，(《科學院會議紀要》，第 9 卷，1830—1832 年，第660—661 頁。)他的論文試圖用根數 (利用根式解決一個方程包括找到只用四種運算和係數來表達解法的一種演算步驟。)
  • ​伽羅瓦理論究竟想幹什麼？
    伽羅瓦理論是現代數學的主要發端之一。當天才少年用自創理論解決了代數方程的懸案，人們才逐漸意識到數學結構本身所隱含的對稱性和抽象關係竟然具有如此強大的威力。通過後繼者對高階抽象和邏輯結構關係的不斷探索，如今數學大廈不僅縱向高聳入雲而且橫向相互支撐順暢貫通。
  • 中考:代數公式、定理彙編(分式與二次根式)
    數學代數公式、定理彙編(六)：第六章 分式與二次根式 1 分式與分式方程 11 指數的擴充 12 分式和分式的基本性質 設f，g是一元或多元多項式，g的次數高於零次，則稱f，g之比f/g為分式 分式的基本性質 分數的分子與分母都乘以或除以同一個不等於0的數，分數的值不變 13
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    這一期間，拉格朗日開始把變分法的理論用在力學分析中，從此力學分析進入到一個嶄新的研究階段。種變換，總計6種，也就是說7式的y可以有6種不同表達形式，那麼根據代數基本定理，顯然y就是一個六次方程的解！我們再觀察一下y的6個含有ω的解有什麼特徵。