​伽羅瓦理論究竟想幹什麼？

伽羅瓦理論是現代數學的主要發端之一。當天才少年用自創理論解決了代數方程的懸案，人們才逐漸意識到數學結構本身所隱含的對稱性和抽象關係竟然具有如此強大的威力。通過後繼者對高階抽象和邏輯結構關係的不斷探索，如今數學大廈不僅縱向高聳入雲而且橫向相互支撐順暢貫通。本文將帶讀者領略那發生在190年前的靈光閃現……

撰文 | 張和持

偶爾，當我被袁隆平院士餵得太飽的時候，會無聊地去想：若現代的知識穿越回古代，那將造成多麼可怕的影響。那有可能是助諸葛亮北伐成功的100名火箭飛行兵，也可能是令趙國取勝長平之戰的空降方便麵。但要是真能穿越的話，希望不會把數學家送過去——等著他們的，可能是尼爾斯·阿貝爾和埃瓦裡斯特·伽羅瓦的命運——他們二人的工作過於超前，以至於他們英年早逝十多年，後人才從塵封的論文中發現那驚人的價值。

Évariste Galois

在那個年代，數學家的工作主要還是圍繞數字的。即使使用變量的代數，也是為了得到具體的數值結果。可想而知，即便是高斯那樣的數學泰鬥，面對伽羅瓦的滿篇抽象符號，也打回了他的論文。據說伽羅瓦死前遭人暗算，不得不參加一場必死的決鬥。生命和學術生涯即將在含苞中零落，絕望中的他奮筆疾書，在最後的時刻整理了自己的手稿，像海賊王一樣把寶物留給了新的時代。

Niels Henrik Abel

今天的我們，處處享受著他們的成果。計算機離不開代數，物理化學也離不開群論。或許在肅然起敬之餘，你會望而卻步。其實大可不必，今番我們便來還原一個簡潔又優美的伽羅瓦理論。

伽羅瓦和阿貝爾想解決的問題看起來很簡單。小學我們學過一元一次方程

直接移項就可以得到

後來我們學了一元二次方程

湊平方法也可以容易地得到

繼續，一元三次方程呢？是否也能這麼容易解出來呢？

十六世紀的數學家尼科洛·塔爾塔利亞首先得到了通用的公式，我們就把它列出來看看有多複雜

對於方程

有三個根：

人類的智慧的確可怕。不久之後，四次方程的公式也被人們發現了。四次方程的解如此複雜，以至於一頁紙都不一定能寫的下，這不禁讓人懷疑，數學是否成為了繁瑣和不便的代名詞。

這也鞭策著那些相信努力就會收穫的數學家，找出五次方程的解而揚名立萬。可是令人費解的是，無論做多麼精巧的代換，無論嘗試怎樣複雜的分解，總有一些方程死活解不出來。到了拉格朗日這一代，大多數人已經確信，五次方程是無法以現有方法解出來的了。他們發現，五次方程與四次，三次，二次方程是如此的不同，以至於之前管用的方法全都失效了。不過直到阿貝爾和伽羅瓦為止，都沒有人能為這種似是而非的論斷給出清晰又嚴格的證明。

這就是我們的問題：為什麼有理係數的一元五次方程不能通過有限次的加、減、乘、除、開根號得到一般解？

比如說方程

很容易求出它的兩個解是

怎麼才能證明擴張無法實現呢？目前我們還沒有什麼思路去直接證明，但阿貝爾和伽羅瓦迎難而上。他們不約而同地注意到，方程的根具有奇妙的對稱性。一般來說，如果一個圖形具有複雜的對稱性，那圖形本身也就較為複雜。這給了他們啟示：根的對稱性是否意味著域擴張的複雜性呢？果不其然，這種對稱性揭示了域擴張與群的子群之間優美的對偶，使得我們可以通過研究群的可解性來回答方程解的性質。

還是回到之前的方程

另一種將群可視化的方法是凱萊圖

圖片受wikimedia 啟發

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A5的凱萊圖

​例如，把紅色線連接的小五邊形看做子群（這是個 階循環群），如果它是正規的，那麼從一個紅色五邊形出發的所有藍色線段，都必須進入同一個陪集，也就是最鄰近的另一個紅色五邊形。可惜這些藍色線都進入了不同的紅色五邊形。

事實上，這種每個局部小多邊形都儘量與其他小多邊形連接的結構，會使整體結構非常穩定而堅固，對群除法這種結構拆解工作自然就不夠友好。神奇的是，如果在上圖中的每個圓圈處放一個碳原子，它們將組成穩定的足球形分子「巴基球」，這個名字來源於建築學家巴克明斯特·富勒，此人建造了世界上最大的足球形建築物。

富勒的作品

1999年，物理學家在奧地利的實驗室中向雙縫發射了「巴基球」的分子束，並觀察到了幹涉現象。這使得「巴基球」成為了人類實驗能觀測到雙縫幹涉的最大分子。

Buckminsterfullerene

再回到最初的問題。從以上的闡述，應該就能理解根式解不存在的原因了：根式的域擴張是有局限的。也就是說五次以上的方程其實並不是「無解」，只是根式擴張無法做到。那麼是不是就應該有別的方法來進行域擴張呢？答案是肯定的。

注釋

[1] Galois theory for non-mathematicians
[2] Emil Artin, Galois Theory