19世紀至20世紀初，數學得到了前所未有的高速發展，研究領域越來越廣，數學這棵樹越長越茂密，樹岔越分越細，從而數學顯得越來越龐雜無序，使得即便是造詣高深的數學家也無法全局把握、透視。面對這種發展趨勢，數學界一個有意義的課題就應運而生：用統一的觀點去處理這「龐雜」的內容，使之「有序」。
數學家首先對於數學的局部內容進行了嘗試，如：德國數學家克萊茵的愛爾朗根綱領，利用「群論」觀點統一處理了各種幾何學；美國數學家伯克霍夫用「格」的概念統一處理了代數系統的理論。
而對於整個數學而言，能否採用某種統一觀點將其重新整理呢？20世紀初，法國一批傑出的年輕數學家在愛爾朗根計劃的啟示下，於1933年成立了以尼古拉·布爾巴基為名的數學家集體，其行動目標就是從整個數學全局出發，以集合論為基礎，運用形式公理化方法，重新整理各個數學分支，從內容結構上給以徹底改造。其基本出發點是：數學是研究形式結構的科學，數學各分支應能按結構性質來統一分割和歸類。
布爾巴基學派利用形式公理法化方法抽象出各種數學分支各種結構，找出各數學分支之間的結構差異，從而獲得各數學分支間內在關聯的清晰圖像。並通過抽象分析法，建立了三種基本結構或母結構，即代數結構、序結構和拓撲結構。然後以這二個母結構為基礎，按照結構之間的「不同」關係，交叉產生新結構，從而，使得數學由一個分支結構轉移到另一個分支結構，有層次地一直延伸出去，形成整個數學。
數學好比一座大城市，城市中心有些巨大建築物，就好比是一個個己經建成的數學理論體系，城市的郊區正在不斷地並且多少有點雜亂無章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發育成型的正在成長著的數學分支，與此同時，市中心又在時時重建，每次都是根據構思更加清晰的計劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時，將修築起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方。
抽象工具的改造
在布爾巴基學派的思想影響下，許許多多數學部門通過的抽象數學工具得到了改造，這主要表明在下面5個方面。
【組合拓撲學由於群概念的引進，正式成為代數拓撲學】20世紀40年代同調論的公理化，統一了同調論的基礎，並開闢了以後廣義上同調論的發展途徑。同時，同倫論的興起，豐富了拓撲學的內容，且使得拓撲學成為數學發展的重要工具。20世紀50年代以後，對於流形的研究，取得了重要的突破。1956年，發現球面上的不等價的微分結構，證明了廣義龐加萊猜想，解決了主猜想，並發展了大範圍的動力系統理論。對於微分流形的研究，促進了起點理論的發展。同時解決了一系列與微分幾何學有關的拓撲問題，並且發展了葉狀結構理論。
【新學科的發展給古典分析提供了重要的工具】其中包不動點定理、拓撲度的觀念，尤其是廣義函數論大大推動了偏微分方程理論的發展。在微分流形上，考慮微分算子促使浩治理論的產生。這個理論把流形的拓撲性質與分析性質結合起來，它與黎曼-洛赫定理共同深化為阿蒂亞-辛格理論，阿蒂亞-辛格理論又是引進偽微分算子的主要推動力，偽微分算子不僅包含線性微分算子，而且包含了以前研究的奇異積分算子，從而使線性偏微分方程理論系統化，這套理論後來又推廣為傅立葉積分算子理論。
20世紀前30年所發展起來的希爾伯特空間的算子譜理論，由於蓋爾範德等於1941年所創始的巴拿赫代數理論而大大簡化和推廣。馮·諾伊曼在這之前已經開始了算子代數的研究，馮·諾伊曼代數在20世紀70年代初取得了新的突破，康耐進一步使這個孤立的學科與阿蒂亞-辛格理論、葉狀結構理論乃至數學中許多分支結合在一起，形成了非交換幾何學。
【交換環理論給代數幾何學打下了牢固的基礎】從範·德·瓦爾登、韋伊、扎裡斯基一直到格羅滕迪克，不僅發展了抽象代數幾何學，而且解決了一系列經典問題，其中特別是廣中平佑解決了特徵0的代數簇的奇點解消問題，而且建立了算術代數幾何這一前沿學科，並導致一系列重要猜想的證明。1973年，德利涅成功地證明了韋伊猜想，這是不定方程理論最重大的成就。1983年，法爾廷斯證明了莫德爾猜想，這是丟番圖幾何的中心問題之一。1994年，懷爾斯取得世紀性的成就，證明了費馬定理。
【由低維到高、由局部到整體是這個時期數學發展的特徵之一】如多複變函數論的發展，勢必藉助於抽象代數拓撲學以及微分幾何學、偏微分方程等學科的進步。由於層的理論以及上同調理論，解決一系列問題如正則域的刻畫，斯坦因空間理論、塞爾對偶定理等。