本文試圖從數學及其有關方面對西方和中國文化傳統作一些比較，從而說明為了我國的現代化和民族的復興，讓數學融入我國文化傳統的必要性和迫切性。
一
從歷史上看，遠在巴比倫、埃及時代，由於人類生活和勞動生產的需要積累了一系列算術和幾何的知識。經過希臘時代，將這些比較零散的知識上升為理論的系統，歐幾裡德《原本》是其集大成的著作。西方在經過千年宗教統治以後，迎來文藝復興。在數學方面，從阿拉伯移植過來並經東方數學滲透過的希臘數學，隨後創立了解析幾何，發明了微積分，使數學由常量數學發展到變量數學的新階段。從17世紀到19世紀時期，人們以極大的熱情將數學應用到很多領域（從運動學、力學一直到物理的各個方面），取得了重大的成就，積累了大量新的數學知識和方法，但是也出現了一些問題和錯誤。為了使成果可靠並且取得進一步發展的基礎，人們在19世紀又建立起微積分的理論基礎和嚴格體系。同時，由理論上探索歐幾裡德第五公設的證明而發現非歐幾何，由五次以上方程求解問題的理論探索而發現伽羅華理論，進而為群論開了先河。這一系列數學理論進展催生了20世紀前期純粹數學的大發展。數學理論得到空前發展，其中數學的形式主義和結構主義產生了廣泛的影響，直至影響到基礎數學教育的教學內容和方法。但是從20世紀後半期開始，儘管純粹數學還在迅速地發展，數學又進入更加廣泛、深入應用於科學、技術、經濟、管理等眾多領域的時代，數學與數學的應用在更高層次上結合，特別是在高新技術領域方面的進展層出不窮，甚至出乎人們的預料。展現出她對社會發展的巨大推動作用。
從以上簡單概括的歷史可以看出：
1、從宏觀上看數學的發展，可以得到一種規律性的認識，即有一種「周期性」的否定之否定規律：大致上就是從實踐中提出問題――解決問題――積累知識――形成有結構的算法，這是第一階段；然後在這個基礎上，找出基本出發點，形成邏輯的演繹體系，數學的理論與應用結合，這是第二階段，二者合而為一個「周期」。從埃及、巴比倫時代到希臘末期的歐幾裡德體系的形成是這樣一個周期。然後在此基礎上，以更高級的方式，再進行類似的周期性的發展。西方從文藝復興及隨後的17、18世紀數學的廣泛應用以及相應數學知識的積累（包括微積分、方程及幾何等多方面），到19世紀微積分的嚴格化直至20世紀前半期純粹數學的大發展，可以看成另一個更高級的周期。20世紀後半期以來，數學的更廣泛、更深入的應用，似乎可以看成是一個更高級得多的周期的開始。數學從對科學、技術的深入、廣泛的應用，直到近年來大量地在金融市場和管理方面應用。事實上，著名數學家柯朗在19世紀中期就已經預言：「在純粹數學和具有活力的應用之間產生了這種不幸分離（可能在批判性的審查時期，這是不可避免的）之後，隨之而來的應是一個緊密結合的時代。」我覺得對數學有周期性否定之否定規律的認識可以幫助我們認清數學發展，從而比較正確地確定努力方向。
上述這種周期的前一階段，即從實際中提出問題、積累知識、形成算法的階段，是數學的根本源頭；但是沒有理論體系的形成，進一步的發展便難於有良好的牢固基礎。這裡有兩點應該引起注意：一是我們應該十分重視數學與實際的聯繫及其應用。著名的數學家、有計算機之父之稱的馮・諾依曼早在20世紀中葉就說過下列一段話：「我想這是一相對地好的接近於真理――這是如此的複雜除了接近以外別無他法――數學思想來源於實踐，雖然有些時候其淵源是悠久而且含糊的。但一旦如此的認為，這個學科便開始以本身特有的方式生存著，並比之幾乎完全從美學的動機出發更好，比之任何其他事物，特別是比之一個經驗的科學……更好。」在純粹數學經過巨大發展、形式主義對數學有大量的影響之後，世界正在進入數學廣泛應用的時代。當我們驚嘆數學在科學、技術的廣闊和奇妙應用的同時，她又已經更大量地進入了金融和管理。這個認識會幫助我們及時地調整數學研究和教學的部署。二是如果只注重從實際解決問題、積累知識、形成算法，而不能再對問題作更深層次的探討，提出理論問題，形成邏輯體系，那也不能使數學及其應用向更高階段發展，從而對社會發展起推動作用；同時對數學培養人才和數學教育也是不利的。針對我國的文化傳統，在發展中應該特別警惕這一點。我國古代數學雖然有突出成就，有優良的算法傳統，但是沒有發展成近代數學，固然和統治階級的不重視數學有重大關係；同時也和我國古代數學發展到一定階段以後，沒有抓住其中一些理論性的問題深入探討，沒有上升到邏輯體系，以至缺乏進一步發展的堅實基礎有關。另一方面，由於沒有形成邏輯體系，條理不很清晰，因而比較難於理解，比較難學。祖衝之的優秀著作《綴術》的失傳，就是一個例證（史書說，該書在唐朝曾列為算學科目的教材，但到後來，「學官莫能究其深奧，是故廢而不理」）。這些可以從與西方數學發展的比較中得到教益。
2、在數學的發展上，數學內部規律對其發展有重要的作用，但不能過分強調；同樣在數學教育中，數學本身的計算、邏輯推理和理論體系應該重視。但不能只是注意數學內部，而不注意應用和相關聯繫。馮・諾依曼在上面所引述的話後，接著說：數學「有一個嚴重的危險，就是這個科學將沿著最小阻力的路線發展，遠離源泉的主流將分散為許多不顯眼的支流，這個科學將變為瑣碎與繁雜的無序的堆積物」。柯朗也說過：「雖然希臘數學的理論化的傾向……曾經產生過巨大的影響。但是對這一點我們不能過分強調。因為在古代數學中，應用以及同物理現實的聯繫恰恰起了同樣重要的作用」。由於種種歷史原因，我國近代數學發展受公理化、形式主義的影響較大，在以往的數學教學中，只重視歐幾裡體系和數學內部知識學習、邏輯推理和基本技能，而忽視幫助學生理解數學的源頭以及與現實的聯繫，忽視理解和學習數學的應用。其結果使學生學到的只是純粹的數學知識，而不能意識到數學知識與日常生活和工作的緊密聯繫，從而也就不能大大提高生活和工作的質量。所以我們在數學和數學教育中需要注意這一點。
二
研究數學史對於理解和幫助數學學科的發展固然重要，但更重要的或許是通過數學史更深入地了解數學對社會發展的重要性；而且當人們對數學在社會發展中的作用有更清楚的認識之後，反過來會更好地促進數學本身的發展。然而數學對於社會及其成員（包括廣大的工程技術人員甚至其他學科的科學家）的影響和對於數學專業人士來說是不同的。因此從數學對社會的貢獻和數學教育的角度考慮，需要研究數學對社會的作用。從以上對數學歷史的簡單分析可以看出數學對社會發展的作用大致表現在以下三個方面：
1、數學的應用。數學從根本說來源於實際。她是描述自然現象和社會現象中的空間形式與數量關係的一種通用語言，從而數學有最廣泛的應用性。她為人們日常生活、生產以及科學、技術、經濟、管理、醫藥等諸多方面的工作提供方法和工具；為各種創新提供數學思想、模型和方法。近年來，數學和股市分析師徹底改變了金融分析。2006年，一個看來與數學似乎關係不大的美國《商業周刊》發表封面文章，談論數學將震撼你的世界，談論數學和計算機科學家聯手正在努力擠進整個商業領域。有時數學還能夠超前地抓住自然和社會發展過程的一些本質問題，幫助人類獲得突破性的進展。例如，數學中的黎曼幾何早在愛因斯坦發明相對論幾十年以前，就為相對論準備了數學思想和方法。因此數學對社會的應用是多方面的、廣泛的、深刻的，對社會發展起著普遍的、巨大的推動作用。
2、核心數學（或純數學）的作用。數學一旦形成學科體系，一方面繼續與有關實際背景互相交流和促進，另一方面則按照自身的規律發展。因此，她的成就是一個國家發展水平的重要標誌。她對國家各方面的發展起著基礎的作用；數學應用的水平有賴於數學本身的發展水平，更需要她的支持和運用。
3、數學為人類和社會提供了可靠的有效思維方式――歸納與演繹相結合的思維方式。歸納與演繹的思維方式本來是一般科學（不僅是自然科學）的思維方式，但是她在數學中具有最明確的形式，數學是她的最好的載體，而且可以說她是由數學研究而發生、發展的。數學的思維和素養也有利於人們形成遇事能從根本點出發進行有條理的分析思考，有助於形成實事求是、不人云亦云、不盲從、不迷信權威的作風。當然數學的思維方式應用於其他科學和社會問題還有一個遷移的過程。幾千年來，人們在實踐的各種層次上完成了這種遷移過程。在我們提倡素質教育的今天，應該通過數學教育幫助人們更自覺地完成。
前面的論述說明：我國和西方在文化傳統的根本出發點、基本思維方式上是不同的。從希臘和西方的文化傳統可以清楚看出：數學是關鍵點之一。而數學在我國固有的文化傳統中是沒有什麼地位的，就是在現代，人們可能更多地還是將她看成是一門科學甚至工具。因此，為了我國的現代化和民族的振興，急切需要在我國優秀文化傳統的基礎上，讓數學融入中國文化傳統。這是一項極端重要、偉大而又長期的艱巨任務。（作者單位：北京師範大學數學科學學院）