1從宏觀上看數學的發展, 可以得到一種規律性的認識, 即有一種「周期性」的否定之否定規律：大致上就是從實踐中提出問題――解決問題――積累知識――形成有結構的算法, 這是第一階段；然後在這個基礎上, 找出基本出發點, 形成邏輯的演繹體系, 數學的理論與應用結合, 這是第二階段, 二者合而為一個「周期」. 從埃及、巴比倫時代到希臘末期的歐幾裡德體系的形成是這樣一個周期. 然後在此基礎上, 以更高級的方式, 再進行類似的周期性的發展. 西方從文藝復興及隨後的17、18世紀數學的廣泛應用以及相應數學知識的積累（包括微積分、方程及幾何等多方面）, 到19世紀微積分的嚴格化直至20世紀前半期純粹數學的大發展, 可以看成另一個更高級的周期. 20世紀後半期以來, 數學的更廣泛、更深入的應用, 似乎可以看成是一個更高級得多的周期的開始. 數學從對科學、技術的深入、廣泛的應用, 直到近年來大量地在金融市場和管理方面應用. 事實上, 著名數學家柯朗在19世紀中期就已經預言：「在純粹數學和具有活力的應用之間產生了這種不幸分離（可能在批判性的審查時期, 這是不可避免的）之後, 隨之而來的應是一個緊密結合的時代. 」我覺得對數學有周期性否定之否定規律的認識可以幫助我們認清數學發展, 從而比較正確地確定努力方向.
上述這種周期的前一階段, 即從實際中提出問題、積累知識、形成算法的階段, 是數學的根本源頭；但是沒有理論體系的形成, 進一步的發展便難於有良好的牢固基礎. 這裡有兩點應該引起注意：一是我們應該十分重視數學與實際的聯繫及其應用. 著名的數學家、有計算機之父之稱的馮・諾依曼早在20世紀中葉就說過下列一段話：「我想這是一相對地好的接近於真理――這是如此的複雜除了接近以外別無他法――數學思想來源於實踐, 雖然有些時候其淵源是悠久而且含糊的. 但一旦如此的認為, 這個學科便開始以本身特有的方式生存著, 並比之幾乎完全從美學的動機出發更好, 比之任何其他事物, 特別是比之一個經驗的科學……更好. 」在純粹數學經過巨大發展、形式主義對數學有大量的影響之後, 世界正在進入數學廣泛應用的時代. 當我們驚嘆數學在科學、技術的廣闊和奇妙應用的同時, 她又已經更大量地進入了金融和管理. 這個認識會幫助我們及時地調整數學研究和教學的部署. 二是如果只注重從實際解決問題、積累知識、形成算法, 而不能再對問題作更深層次的探討, 提出理論問題, 形成邏輯體系, 那也不能使數學及其應用向更高階段發展, 從而對社會發展起推動作用；同時對數學培養人才和數學教育也是不利的. 針對我國的文化傳統, 在發展中應該特別警惕這一點. 我國古代數學雖然有突出成就, 有優良的算法傳統, 但是沒有發展成近代數學, 固然和統治階級的不重視數學有重大關係；同時也和我國古代數學發展到一定階段以後, 沒有抓住其中一些理論性的問題深入探討, 沒有上升到邏輯體系, 以至缺乏進一步發展的堅實基礎有關. 另一方面, 由於沒有形成邏輯體系, 條理不很清晰, 因而比較難於理解, 比較難學. 祖衝之的優秀著作《綴術》的失傳, 就是一個例證（史書說, 該書在唐朝曾列為算學科目的教材, 但到後來, 「學官莫能究其深奧, 是故廢而不理」）. 這些可以從與西方數學發展的比較中得到教益.2在數學的發展上, 數學內部規律對其發展有重要的作用, 但不能過分強調；同樣在數學教育中, 數學本身的計算、邏輯推理和理論體系應該重視. 但不能只是注意數學內部, 而不注意應用和相關聯繫. 馮・諾依曼在上面所引述的話後, 接著說：數學「有一個嚴重的危險, 就是這個科學將沿著最小阻力的路線發展, 遠離源泉的主流將分散為許多不顯眼的支流, 這個科學將變為瑣碎與繁雜的無序的堆積物」. 柯朗也說過：「雖然希臘數學的理論化的傾向……曾經產生過巨大的影響. 但是對這一點我們不能過分強調. 因為在古代數學中, 應用以及同物理現實的聯繫恰恰起了同樣重要的作用」. 由於種種歷史原因, 我國近代數學發展受公理化、形式主義的影響較大, 在以往的數學教學中, 只重視歐幾裡體系和數學內部知識學習、邏輯推理和基本技能, 而忽視幫助學生理解數學的源頭以及與現實的聯繫, 忽視理解和學習數學的應用. 其結果使學生學到的只是純粹的數學知識, 而不能意識到數學知識與日常生活和工作的緊密聯繫, 從而也就不能大大提高生活和工作的質量. 所以我們在數學和數學教育中需要注意這一點.